Reihe in Bruch umwandeln? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Do 30.10.2008 | | Autor: | Manizheh |
| Aufgabe | Sei 0 < q < 1. Zeige:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}\*sin(k\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{qsin(\gamma)}{1-2qcos(\gamma)+q^{2}}
[/mm]
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Hallo!
Habe in der letzten Analysis-Vorlesung in der Serie diese Aufgabe erhalten. Habe aber leider keine Ahnung, wie ich das so umformen könnte? Mir ist klar, dass ich den Bruch umformen muss, dass es eine Summe wird, und diese Summe sollte ich dann zusammenfassen können.
Aber irgendwie stehe ich total auf der Leitung. Könnt ihr mir vielleicht mal einen Ansatz zeigen, wie ich den Bruch umformen könnte?
Hab mir zuerst gedacht, ich mache es mit Induktionsbeweis, aber das scheint irgendwie nicht zu gehen...
Hat das möglicherweise irgendwas mit Konvergenz oder dem Konvergenzradius zu tun, dass man es auf diesem Weg umformen könnte?
Bin dankbar für jede Antwort :)
MfG, Manizheh
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Do 30.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei 0 < q < 1. Zeige:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}\*sin(k\gamma)[/mm] =
> [mm]\bruch{qsin(\gamma)}{1-2qcos(\gamma)+q^{2}}[/mm]
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> Hallo!
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> Habe in der letzten Analysis-Vorlesung in der Serie diese
> Aufgabe erhalten. Habe aber leider keine Ahnung, wie ich
> das so umformen könnte? Mir ist klar, dass ich den Bruch
> umformen muss, dass es eine Summe wird, und diese Summe
> sollte ich dann zusammenfassen können.
> Aber irgendwie stehe ich total auf der Leitung. Könnt ihr
> mir vielleicht mal einen Ansatz zeigen, wie ich den Bruch
> umformen könnte?
> Hab mir zuerst gedacht, ich mache es mit Induktionsbeweis,
> aber das scheint irgendwie nicht zu gehen...
> Hat das möglicherweise irgendwas mit Konvergenz oder dem
> Konvergenzradius zu tun, dass man es auf diesem Weg
> umformen könnte?
>
> Bin dankbar für jede Antwort :)
>
> MfG, Manizheh
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Berechne den Wert der geometrischen Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (qe^{i \gamma})^{k}
[/mm]
Warum ? Darum: [mm] (qe^{i \gamma})^{k} [/mm] = [mm] q^k e^{ik \gamma} [/mm] = [mm] q^k( cos(k\gamma) [/mm] + i [mm] sin(k\gamma))
[/mm]
Wenn Du diesen Reihenwert berechnet hast, spaltest Du ihn in Real- und Imaginärteil auf. Der Imaginärteil ist das was Du suchst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 30.10.2008 | | Autor: | Manizheh |
Die geometrische Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}e^{i\gamma k} [/mm] wäre ja dann:
[mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} \* \bruch{1-(e^{i\gamma)n+1}}{1-e^{i\gamma}}
[/mm]
stimmt das?
und da [mm] e^{i\gamma} [/mm] = [mm] cos\gamma +isin\gamma [/mm] ist, wird das zu:
[mm] \bruch{1-q^(n+1)}{1-q} \* \bruch{1-(cos\gamma+isin\gamma)^{n+1}}{1-(cos\gamma+isin\gamma)}
[/mm]
stimmt mein bisheriger Ansatz? Danach würde ich ausmultiplizieren und den Imaginärteil raussuchen...
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> Die geometrische Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q^{k}e^{i\gamma k}[/mm]
> wäre ja dann:
>
> [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} \* \bruch{1-(e^{i\gamma)n+1}}{1-e^{i\gamma}}[/mm]
>
> stimmt das?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das stimmt nicht.
1. Es ist [mm] \summe a_kb_k [/mm] etwas völlig anderes als [mm] (\summe a_k)*(\summe b_k)
[/mm]
2. Du hast es hier mit einer unendlichen Reihe zu tun.
Was ist denn [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] für [mm] |x|\<1 [/mm] ?
Wenn Du das hast, nimm die Reihe in der Form, die Fred doch schon so mundgerecht für Dich zubereitet hatte: $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (qe^{i \gamma})^{k} [/mm] $, und berechne ihren Grenzwert.
Gruß v. Angela
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