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| Aufgabe | Riley / Hobson / Bence: Mathematical Methods For Physics And Engineering, third edition 2006, CUP, p. 134
... For example, consider the power series expansion of sin x and [mm] $e^x$ [/mm] given below in subsection 4.6.3
[mm] $sin\;x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
[/mm]
[mm] $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$
[/mm]
both of which converge for all values of x. Substituting the series for sin x into that for [mm] e^x [/mm] we obtain
[mm] $e^{sin\;x}=1+x+\frac{x^2}{2!}-\frac{3\;x^4}{4!}-\frac{8\;x^5}{5!}+...$ [/mm] |
Hallo liebe Leute,
ich frage mich nun schon einige Tage, wie man die erste Reihe in die zweite einsetzt.
Wenn einer von euch mir das vielleicht erklären könnte, bzw. mir die ersten Rechenschritte zeigen könnte, so wäre ich drüber sehr froh.
Vielen Dank im Voraus,
Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mo 22.01.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Riley / Hobson / Bence: Mathematical Methods For Physics
> And Engineering, third edition 2006, CUP, p. 134
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> ... For example, consider the power series expansion of sin
> x and [mm]e^x[/mm] given below in subsection 4.6.3
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> [mm]sin\;x= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...[/mm]
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> [mm]e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...[/mm]
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> both of which converge for all values of x. Substituting
> the series for sin x into that for [mm]e^x[/mm] we obtain
>
> [mm]e^{sin\;x}=1+x+\frac{x^2}{2!}-\frac{3\;x^4}{4!}-\frac{8\;x^5}{5!}+...[/mm]
> ich frage mich nun schon einige Tage, wie man die erste
> Reihe in die zweite einsetzt.
Naja, du nennst in der 2. Reihe das x erstmal z, und dann setzt du für z sin(x), also die obere Reihe ein. Und dann rechnest du die Koeffizienten der einzelnen Potenzen von x aus. Das ist mühsam, aber es funktioniert, weil du immer nur endlich viele Terme berücksichtigen mußt.
Für [mm] x^6 [/mm] brauchst du vom sin nur die ersten 3 Summanden und von der Exponentialreihe nur die ersten 7 Summanden. Also setzt du nur ein Polynom in ein anderes ein.
Gruß Dieter
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