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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Hallo zusammen!
Habe da mal eine Frage ob ich folgendes Richtig gemacht habe:
Zu zeigen ist, dass folgende Reihe konvergent ist:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
Habe das Teil erweitert um 3. Binom zu bekommen:
[mm] \bruch{(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{\wurzel{n}(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+1-n}{n+\wurzel{n^2+n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+\wurzel{n^2+n}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
ist es richtig, dass ich daraus schließen kann, das die Reihe konvergent ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mo 23.05.2005 | | Autor: | QCO |
Nein, aus [mm] a_{n}<\bruch{1}{n} [/mm] kannst du keinesfalls folgern, dass deine Reihe konvergiert, denn [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert ja gar nicht.
Das Majorantenkriterium sagt dir nur, dass eine Reihe konvergiert, wenn ihre Glieder kleiner als die Glieder einer konvergierenden Reihe sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 24.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Wenn meine Reihe die ich ich untersuche "an" heisst und ich eine zweite Reihe "bn" habe von der ich weis, das sie konvergiert, ist dann folgendes
richtig:
an < bn => Die Reihe an konvergiert? (Majorantenkriterium, richtig?)
Wie ist das mit dem Minoranten kriterium? Da geht man ja davon das man eine divergente Reihe hat, die man mit seiner eigenen Reihe vergleicht. Kann man damit nur nachweisen, das eine Reihe divergent ist, oder geht das dabei auch andersum und man kann auf eine eventuelle nicht vorhandene Divergenz daraus schließen, dass die Reihe konvergent sein muß?
Tschau,
Moprtz
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Hallo Mopetz!
> Wenn meine Reihe die ich ich untersuche [mm] a_n [/mm] heisst und ich
> eine zweite Reihe [mm] b_n [/mm] habe von der ich weis, das sie
> konvergiert, ist dann folgendes richtig:
>
> [mm] a_n [/mm] < [mm] b_n [/mm] => Die Reihe an konvergiert?
> (Majorantenkriterium, richtig?)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Wie ist das mit dem Minoranten kriterium? Da geht man ja
> davon das man eine divergente Reihe hat, die man mit seiner
> eigenen Reihe vergleicht. Kann man damit nur nachweisen,
> das eine Reihe divergent ist, ...
> oder geht das dabei auch andersum und man kann auf eine
> eventuelle nicht vorhandene Divergenz daraus schließen,
> dass die Reihe konvergent sein muß?
Mit dem Minoranten-Kriterium kannst Du lediglich die Divergenz einer Reihe nachweisen, indem Du gegen eine divergente Reihe abschätzt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:57 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Jp, vielen Dank Euch allen!
Tschau,
Mopetz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Mopetz,
andersrum wird es richtig, da
[mm] $\cdots [/mm] = [mm] \frac{n+1-n}{\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{1}{n+\sqrt{n^2+n}}\ge \frac{1}{n+\sqrt{n^2+n^2}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{n}$
[/mm]
hat deine Reihe eine divergente Minorante, ist also selber divergent.
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 24.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Hallo Max!
Ich verstehe nicht den Vergleich:
[mm] \bruch{1}{n+\wurzel{n^2+n}} [/mm] >= [mm] \bruch{1}{n+\wurzel{n^2+n^2}}
[/mm]
, oder vielmehr woher das zweite [mm] n^2 [/mm] beim rechten der beiden Brüche herkommt. Die weitere Umformung ist klar.
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Hallo Mopetz!
> [mm]\bruch{1}{n+\wurzel{n^2+n}} \ \ge \ \bruch{1}{n+\wurzel{n^2+n^2}}[/mm]
>
> , oder vielmehr woher das zweite [mm]n^2[/mm] beim rechten der
> beiden Brüche herkommt. Die weitere Umformung ist klar.
Max hat hier fast beliebig einen Wert gewählt, der ihn mit seiner Abschätzung weiter bringt (siehe dann weitere Umformung).
Daher hat er im Nenner einen größeren Wert als im Ausgangsterm gewählt. Schließlich gilt ja: [mm] $n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ n \ \ \ [mm] \forall [/mm] \ n [mm] \ge [/mm] 1$
Da wir nunmehr durch einen größeren Wert teilen, ist der Gesamtwert nun kleiner.
Nun klar(er) ??
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:58 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Vielen Dank!
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