Reihe von cos^2(x) HILFE < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie mittels Taylorentwicklung um [mm] z_{0} [/mm] = 0 die ersten vier Koeffizienten [mm] y_{k}, [/mm] k = 0,1,2,3 der Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} y_{k}*zk [/mm] von [mm] cos^2(z). [/mm] Bestimmen Sie hieraus mit Hilfe der Reduktionsformel für den Kehrwert die ersten vier Koeffizienten [mm] n_{k}, [/mm] k=0,1,2,3 der Potenzreihe von [mm] 1/cos^2(x) [/mm] |
Wie komme ich auf die gesuchte Potenzreihe?
Muss ich das Cauchy Produkt anwenden?
Und wie erhalte ich daraus dann die Koeffizienten [mm] y_{k} [/mm] ? Wer mir das sagen kann und vllt eine Hilfe für die Potenzreihe hat mir schon sehr geholfen. Die Reduktionsformel kann ich dann denke ich anwenden aber zunächst benötige ich ja die vier Koeffizienten.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
Lg
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
matheboard.de
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Hallo MattIng,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie mittels Taylorentwicklung um [mm]z_{0}[/mm] = 0 die
> ersten vier Koeffizienten [mm]y_{k},[/mm] k = 0,1,2,3 der
> Potenzreihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} y_{k}*zk[/mm] von [mm]cos^2(z).[/mm]
> Bestimmen Sie hieraus mit Hilfe der Reduktionsformel für
> den Kehrwert die ersten vier Koeffizienten [mm]n_{k},[/mm] k=0,1,2,3
> der Potenzreihe von [mm]1/cos^2(x)[/mm]
> Wie komme ich auf die gesuchte Potenzreihe?
> Muss ich das Cauchy Produkt anwenden?
Um auf die Koeffizienten der Taylorreihe zu kommen,
ist [mm]\cos^{2}\left(z\right)[/mm] 4 mal abzuleiten.
In die Ableitungen wird dann der Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=0[/mm]
eingesetzt. Dann muss noch dieser Wert (k. Ableitung an
der Stelle [mm]z_{0}=0[/mm]) durch k! dividiert werden. Dies ist dann
der Koeffizient [mm]y_{k}[/mm]
>
> Und wie erhalte ich daraus dann die Koeffizienten [mm]y_{k}[/mm] ?
> Wer mir das sagen kann und vllt eine Hilfe für die
> Potenzreihe hat mir schon sehr geholfen. Die
> Reduktionsformel kann ich dann denke ich anwenden aber
> zunächst benötige ich ja die vier Koeffizienten.
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
> Lg
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt
> matheboard.de
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
Ich habe jetzt 4mal abgeleitet:
Meine Ergebnisse:
f'(x)=-2*cos(x)*sin(x)
f''(x) = 2* (sin(x)-cos(x))*(sin(x)+cos(x))
f'''(x) = 8*cos(x)*sin(x)
f''''(x) = -8*(sin(x)-cos(x))*(sin(x)+cos(x))
Wie komme ich nun auf die n-te Ableitung?
Brauch echt Hilfe bin gerade total überfordert...
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Hallo Matting,
> Ich habe jetzt 4mal abgeleitet:
> Meine Ergebnisse:
>
> f'(x)=-2*cos(x)*sin(x)
> f''(x) = 2* (sin(x)-cos(x))*(sin(x)+cos(x))
> f'''(x) = 8*cos(x)*sin(x)
> f''''(x) = -8*(sin(x)-cos(x))*(sin(x)+cos(x))
>
> Wie komme ich nun auf die n-te Ableitung?
> Brauch echt Hilfe bin gerade total überfordert...
Hier ist es angebracht schon die 1. Ableitung mit Hilfe
eines Additionstheorems umzuformen.
Dann kannst Du auch die n.te Ableitung angeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
und welches theorem muss ich verwenden?
ich steh grad wirklich aufm schlauch...
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Hallo MattIng,
> und welches theorem muss ich verwenden?
> ich steh grad wirklich aufm schlauch...
Dasjenige Additionstheorem, das den Zusammenhang
zwischen dem doppelten Winkel und dem einfachen Winkel angibt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
ich kenne das theorem sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
dann kann ich auch die erste ableitung umstellen.
f'(x)= -sin(2x)
aber leider kann ich dadurch nicht mehr herausfinden...
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Hallo MattIng,
> ich kenne das theorem sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x)
> dann kann ich auch die erste ableitung umstellen.
> f'(x)= -sin(2x)
>
> aber leider kann ich dadurch nicht mehr herausfinden...
Mehr gibt es da nicht herauszufinden.
Damit kannst Du jetzt die weiteren Ableitungen angeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
Nun erhalte ich:
[mm] f(x)=cos^2(x)
[/mm]
f'(x)=sin(2x)
f''(x)=2*cos(2x)
f'''(x)=-4*sin(2x)
f''''(x)=-8*cos(2x)
und wie komme ich nun auf die allgemeine form?
ich kann darauf keine allgemeine form bilden.. bitte um hilfe :)
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Hallo MattIng,
> Nun erhalte ich:
> [mm]f(x)=cos^2(x)[/mm]
> f'(x)=sin(2x)
Hier muss doch stehen:
[mm]f'(x)=\blue{-}sin(2x)[/mm]
> f''(x)=2*cos(2x)
> f'''(x)=-4*sin(2x)
> f''''(x)=-8*cos(2x)
>
> und wie komme ich nun auf die allgemeine form?
> ich kann darauf keine allgemeine form bilden.. bitte um
> hilfe :)
Setze zunächst den Wert x=0 in die Ableitungen ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
dann erhalte ich folgende werte:
0, 2, 0, -8
und nun?
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> dann erhalte ich folgende werte:
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> 0, 2, 0, -8
> und nun?
bilde am besten noch ein paar ableitungen mehr und setze 0 dort ein, bis du ein muster erkennen kannst
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
habe nun bis 8te ableitung x=0 eingesetzt und erhalte jetzt die werte:
0,2,0,-8,0,32,0,-128
was erkenne ich: jede zweite stelle wird das ganze wegen sinus 0.
desweiteren gilt 2*(-4)=-8 -8*(-4)=32 32*(-4)=-128
usw.
mein problem liegt nun diese erkenntnisse in eine potenzreihe umzuformen..:(
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Hallo Matting,
> habe nun bis 8te ableitung x=0 eingesetzt und erhalte jetzt
> die werte:
>
> 0,2,0,-8,0,32,0,-128
>
> was erkenne ich: jede zweite stelle wird das ganze wegen
> sinus 0.
> desweiteren gilt 2*(-4)=-8 -8*(-4)=32
> 32*(-4)=-128
Setzt das mal so ein:
[mm]f^{4}\left(0\right)= \left(-4\right)*f^{2}\left(0\right)[/mm]
[mm]f^{6}\left(0\right)= \left(-4\right)*\blue{f^{4}\left(0\right)}=\left(-4\right)*\blue{\left(-4\right)*f^{2}\left(0\right)}=\left(-4\right)^{2}*f^{2}\left(0\right)[/mm]
Der Exponent n steht für die n. Ableitung.
>
> usw.
>
> mein problem liegt nun diese erkenntnisse in eine
> potenzreihe umzuformen..:(
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
also ist die reihe dann
[mm] 2*(-4)^k???
[/mm]
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Hallo MattIng,
> also ist die reihe dann
> [mm]2*(-4)^k???[/mm]
Nicht ganz.
Die Ableitungswerte ergeben sich zu [mm]f^{2k}\left(0\right)=\left(\red{-}2\right)
*\left(-4\right)^{k-1}, \ k \in \IN[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
wenn ich das ganze mit -2 rechne bekomm ich immer den mit falschem vorzeichenbehafteten wert raus... nicht doch 2?
kann ich also meine potenzreihe folgend schreiben?
[mm] cos^2(x) [/mm] = [mm] \summe_{u=0}^{\infty} (2*(-4)^{u-1} [/mm] / u!) * [mm] x^u
[/mm]
wobei u = 2k , k [mm] \in \IN
[/mm]
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Hallo MattIng,
> wenn ich das ganze mit -2 rechne bekomm ich immer den mit
> falschem vorzeichenbehafteten wert raus... nicht doch 2?
>
Zur Erinnerung:
[mm]f\left(x\right)=\cos^{2}\left(x\right)[/mm]
[mm]f'\left(x\right)=2*\cos\left(x\right)*\left( \ -\sin\left(x\right) \ \right)=-2*\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)=-1*\sin\left(2x\right)[/mm]
[mm]f''\left(x\right)=-2*\cos\left(2x\right)[/mm]
>
> kann ich also meine potenzreihe folgend schreiben?
>
> [mm]cos^2(x)[/mm] = [mm]\summe_{u=0}^{\infty} (2*(-4)^{u-1}[/mm] / u!) * [mm]x^u[/mm]
>
> wobei u = 2k , k [mm]\in \IN[/mm]
>
Das ist nicht richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
ja ok ich sehe meinen fehler
wenn ich dann wieder die reihe bilde hätte ich
für u = 2k, k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] cos^2(z)= \summe_{u=0}^{\infty} \frac{(-2)*(-4)^(0,5*u-1)}{u/2}*z^{u/2}
[/mm]
Passt das jetzt so?
Meine Nerven liegen bereits blank xD
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Hallo MattIng,
> ja ok ich sehe meinen fehler
>
> wenn ich dann wieder die reihe bilde hätte ich
>
> für u = 2k, k [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]cos^2(z)= \summe_{u=0}^{\infty} \frac{(-2)*(-4)^(0,5*u-1)}{u/2}*z^{u/2}[/mm]
>
> Passt das jetzt so?
Leider passt das immer noch nicht:
[mm]cos^2(z)=1+\summe_{k=1}^{\infty} \frac{(-2)*(-4)^{k-1}}{\left(2k\right)!}*z^{2k}[/mm]
> Meine Nerven liegen bereits blank xD
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
ok vielen dank :)
wie kann ich nun einzelne koeffizienten aus dieser schreibweise bekommen? also diese yk , k = 0,1,2,3 :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Mo 30.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was steht denn bei [mm] z^0, z^1,z^2 [/mm] usw? das sind deine Koeffizienten.schreib erst mal ausgeschrieben die ersten paar summanden hin!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 So 29.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo MattIng,
>
>
>
>
>
> > Bestimmen Sie mittels Taylorentwicklung um [mm]z_{0}[/mm] = 0 die
> > ersten vier Koeffizienten [mm]y_{k},[/mm] k = 0,1,2,3 der
> > Potenzreihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} y_{k}*zk[/mm] von [mm]cos^2(z).[/mm]
> > Bestimmen Sie hieraus mit Hilfe der Reduktionsformel für
> > den Kehrwert die ersten vier Koeffizienten [mm]n_{k},[/mm] k=0,1,2,3
> > der Potenzreihe von [mm]1/cos^2(x)[/mm]
> > Wie komme ich auf die gesuchte Potenzreihe?
> > Muss ich das Cauchy Produkt anwenden?
>
>
> Um auf die Koeffizienten der Taylorreihe zu kommen,
> ist [mm]\cos^{2}\left(z\right)[/mm] 4 mal abzuleiten.
Nicht unbedingt. Zumindest wenn man die Kenntnis der Taylorreihe für die Grundform f(x)=cos(x) voraussetzt, kann man das Additionstheorem
[mm] cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=2cos^2(x)-1 [/mm] umformen zu
[mm] cos^2(x)=(1+cos(2x))/2.
[/mm]
In die bekannte Taylorreihe für cos(x) setzt man statt x einfach 2x ein, addiert 1 und halbiert das Ganze.
Gruß Abakus
> In die Ableitungen wird dann der Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=0[/mm]
> eingesetzt. Dann muss noch dieser Wert (k. Ableitung an
> der Stelle [mm]z_{0}=0[/mm]) durch k! dividiert werden. Dies ist
> dann
> der Koeffizient [mm]y_{k}[/mm]
>
>
> >
> > Und wie erhalte ich daraus dann die Koeffizienten [mm]y_{k}[/mm] ?
> > Wer mir das sagen kann und vllt eine Hilfe für die
> > Potenzreihe hat mir schon sehr geholfen. Die
> > Reduktionsformel kann ich dann denke ich anwenden aber
> > zunächst benötige ich ja die vier Koeffizienten.
> >
> > Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.
> > Lg
> >
> >
> > Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> > Internetseiten gestellt
> > matheboard.de
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
könntest du mir zeigen wie ich 1 in eine reihe summiere?
bzw durch 2 teile?
liebe grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Mo 30.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 zu ner Summe zu addieren kann dir doch nicht unbekannt sein. Eine Summe durch 2 zu teilen , hat man auch irgendwann gelernt.Deshalb ist deine Frage eigenartig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 So 29.05.2011 | | Autor: | MattIng |
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