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Forum "Folgen und Reihen" - Reihen
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Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:16 Mi 03.06.2015
Autor: UniversellesObjekt

Aufgabe
Es sei [mm] $d_k$ [/mm] eine nichtnegative Folge mit [mm] $\sum d_k=\infty$. [/mm] Was lässt sich über das Konvergenzverhalten von [mm] $\sum \frac{d_k}{1+d_k}$ [/mm] und [mm] $\sum\frac{d_k}{1+k^2d_k}$ [/mm] aussagen?


Hallo, bei der ersten Reihe wäre ich mir relativ sicher, dass sie ebenfalls divergiert, denn es gilt ja [mm] $a_k:=d_k-\frac{d_k}{1+d_k}=\frac{d_k^2}{1+d_k}$. [/mm] Wenn [mm] $\sum \frac{d_k}{1+d_k}$ [/mm] konvergieren würde, wäre [mm] $\frac{d_k}{1+d_k}$ [/mm] Nullfolge, somit auch [mm] $d_k$. [/mm] Dann wäre aber [mm] $a_k\le \frac{d_k}{1+d_k}$, [/mm] für große $k$, das heißt es würde auch [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergieren und damit auch [mm] $\sum d_k=\sum a_k+\frac{d_k}{1+d_k}$. [/mm]

Ist das richtig argumentiert? Für die zweite Reihe habe ich leider keine Idee.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:29 Mi 03.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sehe keine Beanstandung bei deiner Argumentation für den ersten Teil.

Für die zweite Reihe bedenke: Für [mm] $d_k\not= [/mm] 0$ gilt [mm] $\frac{d_k}{1+k^2d_k} [/mm] = [mm] \bruch{d_k}{d_k\left(\bruch{1}{d_k} + k^2\right)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\bruch{1}{d_k} + k^2} \le \bruch{1}{k^2}$ [/mm]

Und damit folgt für alle k:

[mm] $\frac{d_k}{1+k^2d_k} \le \bruch{1}{k^2}$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Mi 03.06.2015
Autor: fred97

Eine Bemerkung:

Sind alle [mm] d_k>0 [/mm] , so gilt

   $ [mm] \sum d_k$ [/mm]  konvergiert [mm] \gdw $\sum \frac{d_k}{1+d_k} [/mm] $ konvergiert.

FRED



Bezug
                
Bezug
Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:02 Mi 03.06.2015
Autor: UniversellesObjekt

Hallo Fred,

wo braucht man die zweite Bedingung? Meine Überlegung zu (ii) konvergiert [mm] $\implies$ [/mm] (i) konvergiert müsste doch immer durchgehen, oder? Und umgekehrt müsste stets [mm] $\frac{d_k}{1+d_k}\le d_k$ [/mm] gelten, also auch die andere Richtung. Oder übersehe ich etwas?

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                        
Bezug
Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:25 Mi 03.06.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> wo braucht man die zweite Bedingung?

Du hast recht. Die 2. Bed. braucht man nicht. Werde es korrigieren.

FRED

>  Meine Überlegung zu
> (ii) konvergiert [mm]\implies[/mm] (i) konvergiert müsste doch
> immer durchgehen, oder? Und umgekehrt müsste stets
> [mm]\frac{d_k}{1+d_k}\le d_k[/mm] gelten, also auch die andere
> Richtung. Oder übersehe ich etwas?
>  
> Liebe Grüße,
>  UniversellesObjekt


Bezug
                                
Bezug
Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:29 Mi 03.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

stelle gerade fest, man kann den Satz sogar noch verschärfen zu:

Sind alle $ [mm] d_k>0 [/mm] $ , so gilt

$ [mm] \sum d_k [/mm] $  konvergiert $ [mm] \gdw [/mm] $  $ [mm] \sum \frac{d_k}{1+n*d_k} [/mm] $ konvergiert für alle [mm] $n\in\IN_0$ [/mm]

bzw:

$ [mm] \sum d_k [/mm] $  konvergiert $ [mm] \gdw [/mm] $  $ [mm] \sum \frac{d_k}{1+n*d_k} [/mm] $ konvergiert für ein [mm] $n\in\IN_0$ [/mm]

Kannte ich noch nicht :-)

Gruß,
Gono

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