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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Do 12.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgendene Reihe konvergiert, und berechnen Sie gegebenenfalls den Reihenwert. Ermitteln Sie die Partialsummenfolge.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2k+1}{k^{2} (k+1)^{2}} [/mm] |
Hallo an alle,
ich hänge bei der Aufgabe ein wenig... habe aber auch schon was anzubieten. Ich hoffe, mir kann jemand bei meinem Hänger etwas weiterhelfen.
Partialsummenfolge
[mm] s_{n} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{2k+1}{k^{2} (k+1)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{5}{36} [/mm] + ... + [mm] \bruch{2n + 1}{n^{2}(n+1)^{2}} [/mm] = ???
k=1 [mm] \bruch{2*1 +1}{1*(1+1)^{2}} [/mm]
k=2 [mm] \bruch{2*2+1}{2^{2}(2+1)^{2}} [/mm] ...
Für die ??? sollte jetzt eigentlich eine Gleichung stehen, wenn man in diese für n=1 einsetzt dann [mm] \bruch{3}{4} [/mm] rauskommen soll und wenn man für
n=2 einsetzt die Summe aus k=1 und k=2 also [mm] \bruch{3}{4} [/mm] + [mm] \bruch{5}{36} [/mm] = [mm] \bruch{8}{9} [/mm] und für n=3 die Summe aus k=1 + k=2 + k=3 ... nur wie kommt man auf diese Gleichung?
Bei einigen Aufgaben da kann man leicht schlussfolgern, aber gibt es da einen Trick oder rechnerische Hilfe? Wenn ja was und wie...
Ich benötige diese ja, um zu zeigen, ob diese konvergiert...
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{2k+1}{k^{2} (k+1)^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} \bruch{2k+1}{k^{2} (k+1)^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ???
??? da fehlt mir das dann wieder...
Ich hoffe, mir kann jemand dabei weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
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Hallo Doreen!
Vielleicht hilft Dir ja folgende Partialbruchzerlegung weiter:
[mm] $\bruch{2k+1}{k^2*(k+1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k^2}+\bruch{C}{k+1}+\bruch{D}{(k+1)^2}$
[/mm]
Ich habe letztendlich erhalten: [mm] $\bruch{2k+1}{k^2*(k+1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k^2}-\bruch{1}{(k+1)^2}$
[/mm]
Damit sollten sich dann auch die Partialsummen [mm] $s_n$ [/mm] relativ leicht bestimmen lassen  ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Do 12.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe,
wenn ich das zurückführe, komme ich auf meine Ausgangsgleichung.
Nur wie funktioniert das mit der Partialbruchzerlegung allgemein? Denn
ich glaube fast, dass ich das für die anderen Aufgaben auch benötige.
Wäre toll, wenn du mir das auch erklären könntest...
Vielen Dank
Gruß
Doreen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Do 12.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Versuche jetzt mal auf irgendetwas zu kommen.
vielen Dank nochmal...
Ansonsten frag ich nochmal nach.
Gruß
Doreen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 12.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallo, Hilfe...
Ich komme absolut nicht weiter... kein schneid... trotz grübeln...
[mm] \bruch{2k+1}{k^2\cdot{}(k+1)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k^2}-\bruch{1}{(k+1)^2} [/mm]
Ich habe jetzt [mm] \bruch{1}{k^2}-\bruch{1}{(k+1)^2} [/mm]
aber mehr erkenne ich daraus einfach nicht... nicht mal der Prof. gibt uns
Tipps dazu...
Ich hoffe, mir kann jemand bei der Aufgabe weiterhelfen.
Ich verzweifle sonst...
Vielen Dank
Gruß Doreen
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Hallo Doreen!
Wo "hängst" Du denn gerade? Bei den Partialsummen?
Schreibe Dir mal die Partialsummen [mm] $s_n$ [/mm] für $n \ = \ 1, \ 2, \ 3$ auf.
Und evtl. dann für $n_$ .
Wieviele bzw. welche Glieder verbleiben denn immer? Das vereinfacht sich doch immer sehr stark.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 12.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Hallöchen,
sorry, dass ich so schwer von Begriff bin...
ja, also wenn ich das ausschreibe bekomme ich:
n=1 [mm] \Rightarrow [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
n=2 [mm] \Rightarrow [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{9}
[/mm]
n=3 [mm] \Rightarrow [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} [/mm] + [mm] \bruch{1}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] = 1- [mm] \bruch{1}{16} [/mm]
Für n da bin ich mir leider nicht sicher: also es müsste heißen 1- [mm] \bruch{1}{???} [/mm] aber wie man darauf kommt... *kopfschütteln* Die Nenner unterscheiden sich +5 +7 +9 ... der Rest ist ja gleich... nun sollte es ja eigentlich einfach sein, daraus was zu schlussfolgern... aber *keine Licht geht auf*
Ein Schüpser wäre da auch wieder toll.... bitte, bitte, bitte...
Gruß
Doreen
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Hallo Doreen!
Sehen wir uns mal [mm] $s_3$ [/mm] (also $n \ = \ 3$) an:
[mm] $s_{\red{3}} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{16} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{4^2} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{(\red{3}+1)^2}$
[/mm]
Also könnte es lauten für allgemeines $n_$ :
[mm] $s_n [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{(n+1)^2}$
[/mm]
Genug geschüpst?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Do 12.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Jajajaja... so ein schöner Schüpser ist ne feine Sache...
Tausend Dank... jetzt gehe ich in Ruhe nochmal die Aufgabe durch
und hoffe, dass ich mit den anderen Aufgabe zu Rande komme...
Wenn ich dich nicht hätte, jetzt in diesem speziellen Fall, meine ich...
dann würde ich... (naja, lassen wir das lieber)
Gruß Doreen
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Wikipedia: Partialbruchzerlegung