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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Sa 18.02.2006 | | Autor: | beta83 |
| Aufgabe | Welche elementare Funktion wird durch die folgende Reihe dargestellt?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n^2-n)*z^n [/mm] |
Hallo liebe Helfer,
gibt es für solche Aufabentypen ein allgemeines Kochrezept? Wie muss ich an solche Aufgaben rangehen? Könnt ihr mir mal an diesem Beispiel konkret zeigen? Es gibt ja diverse Tricks wie Ableiten, Hochzahlen vorziehen, Index verschieben. Aber ich krieg das jedes mal irgendwie nicht gebacken.
gruß Beta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Sa 18.02.2006 | | Autor: | andreas |
> Welche elementare Funktion wird durch die folgende Reihe
> dargestellt?
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n^2-n)*z^n[/mm]
> gibt es für solche Aufabentypen ein allgemeines Kochrezept?
> Wie muss ich an solche Aufgaben rangehen? Könnt ihr mir
> mal an diesem Beispiel konkret zeigen? Es gibt ja diverse
> Tricks wie Ableiten, Hochzahlen vorziehen, Index
> verschieben. Aber ich krieg das jedes mal irgendwie nicht
> gebacken.
ein ganz allgemeines rezept gibt es wohl nicht, man kann aber wenn man sich geschickt anstellt, sehen, was für funktionen darin vorkommen können. z.b. sollte man wissen, wie die gliedweise abgeleitete geometrische reihe (deren reihenwert ja dann leicht zu bestimmen ist) aussieht. im konvergenzradius darf man wegen gleichmäßiger konvergenz summation und differentiation vertauschen. man erhält:
[m] \left( \sum_{n = 0}^\infty z^n \right)' = \sum_{n = 0}^\infty (z^n) ' = \sum_{n = 0}^\infty n z^{n-1} [/m]
andererseits ist
[m] \left( \sum_{n = 0}^\infty z^n \right)' = \left( \frac{1}{1 - z} \right)' = \frac{1}{(1-z)^2} [/m].
setzt man dies zusammen, so erhält man also
[m] \sum_{n = 0}^\infty n z^{n-1} = \frac{1}{(1-z)^2} [/m]
innerhalb des konvergenzradius, also für $|z| < 1$. das hat ja schon eine gewisse ähnlichkeit mit der hier gegebenen reihe. beachtet man, dass [mm] $(n^2 [/mm] - n) = n(n - 1)$ ist, so könnte man die vermutung haben, dass es sich um eine zweimal differnzierte geometrische reihe handelt. jetzt muss man eben noch den exponeneten der $z$'s so einstellen, dass es mit der zweimal abgeleiteten geometrischen reihe übereinstimm, dass man also [mm] $n(n-1)z^{n-2}$ [/mm] dastehen hat. probiere mal, ob du damit zu einer geschlossenen darstellung kommst. du kannst dein resultat hier zur kontrolle posten.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Sa 18.02.2006 | | Autor: | beta83 |
Hallo Andreas,
erstmal danke für deine Hilfe. Dieses Vertauschungsgesetz ist ja echt praktisch, nur hätt ich gedacht das wenn man differenziert, den Index um 1 nach vorne verschieben muss da mann ja wieder den gleiche Startpunkt haben will, sonst ist ja die Gleichung futsch. Bei deiner Ableitung hast du glaub ich die Klammern vergessen. Die Ableitung von 1/(1-z) ist [mm] 1/(1-z)^2.
[/mm]
Wenn ich diese Indexverschiebung (die ich nicht beachten soll, was mir aber nicht einleuchtet), vernachlässige, erhalte ich nach zweimaligen Differenzieren folgende Gleichung: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*(n-1)*z^{n-2}=2/(1-z)^3. [/mm] Nun habe ich das z^(-2) vor die Summengleichung gezogen und auf die rechte seite gebracht und habe somit die Ausgangssummengleichung auf der linken, und die gesuchte elementare auf der rechten Seite, die lautet: [mm] 2*z^2/(1-z)^3
[/mm]
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Hallo.
Falls Du Dir mit den Indizes nicht ganz sicher bist, ist es immer hilfreich, sich die ersten paar Glieder der Summe direkt hinzuschreiben und dann "zurückzuübersetzen"...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Sa 18.02.2006 | | Autor: | beta83 |
Hallo Christian,
ich danke auch dir für deine Mühe, nur ist meine Frage immer noch nicht beantwortet. Welche Darstellung ist jetzt die richtige:
$ [mm] \left( \sum_{n = 0}^\infty z^n \right)' [/mm] = [mm] \sum_{n = 0}^\infty (z^n) [/mm] ' = [mm] \sum_{n = 1}^\infty [/mm] n [mm] z^{n-1} [/mm] $
oder die vom Andreas:
$ [mm] \left( \sum_{n = 0}^\infty z^n \right)' [/mm] = [mm] \sum_{n = 0}^\infty (z^n) [/mm] ' = [mm] \sum_{n = 0}^\infty [/mm] n [mm] z^{n-1} [/mm] $
In meiner Darstellung versuche ich ja wieder auf den Startwert 1 zu kommen damit die Gleichung nicht ihren Sinn verliert. Bei Andreas stimmt ja nach dem Ableiten der Stratwert nicht mehr.
Gruß Beta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Sa 18.02.2006 | | Autor: | andreas |
hi
also meiner meinung nach sind beide darstellungen richtig, denn durch abspalten des ersten summanden in meiner darstellung erhält man:
[m] \sum_{n = 0}^\infty n z^{n-1} = \underbrace{0 z^0}_{=0} + \sum_{n = 1}^\infty n z^{n-1} = \sum_{n = 1}^\infty n z^{n-1} [/m].
insbesonder halte ich aber meine darstellung für sinnvoll, denn in der von dir zu summierenden reihe beginnt die summation auch bei 0 (hier sind auch die ersten beiden summanden wegen des faktors [mm] $n^2 [/mm] - n$ null).
mit den fehlenden klammern bei meiner ableitung hast du natürlich recht - ich werde es gleich verbessern.
dein ergebnis sieht gut aus. maple erhält allerdings ein "$-$", welches bei der wohl beim zweiten ableiten verloren gegangen ist! wenn du das in einer klausur oder prüfung so machen willst solltest du vielleicht vermeiden durch $z$ zu teilen, oder den fall $z=0$ als spezialfall zu behandeln.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Sa 18.02.2006 | | Autor: | beta83 |
Danke noch mal an alle die mir weiterhelfen konnten.
Gruß Beta
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