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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Sa 20.11.2004 | | Autor: | Nadja |
Hallo zusammen
Kann mir vielleicht jemand ein Tipp geben wie ich das zeigen kann.
Die Zahl x [mm] \in [/mm] [0,1) habe die Dezimalbruchentwicklung
x=0,z1z2z3...
Zeigen Sie: x ist genau dann rational,wenn diese Entwicklung von einer Stelle N an periodisch ist (also: es gibt ein p [mm] \in \IN [/mm] so,dass z(n+p)=zn ist für n>=N)
Danke euch.
Nadja
Ich habe diese Frage in keinen anderem Forum gestellt.
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Hallo, Nadja
genügt Dir der Tip "Summe einer geometrischen Reihe" ?
Gruß F.
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Hallo
Also ich weiß nicht so recht, wie man die Summe einer geometrischen Reihe auf diese Aufgabe anwenden kann.? Kannst du das vielleicht noch ein wenig erläutern?
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Hallo, Yellobird,
der Rest $R$ ab der Stelle N, also beginend mit der Ziffer zu [mm] $10^{-n}$ [/mm] ist
$R = [mm] 10^{-(N+p-1)} Z*\summe_{k \ge 0} (10^{-p})^k [/mm] $
wobei,
$Z = [mm] \summe_{i=0}^{p-1}z_{N+i}*10^{p-i-1}$ [/mm] also der Wert der
Periodenziffern als Zahl gelesen ist.
Damit ist $R$ also der ( rationale ) Wert der Summe einer geometrischen Reihe
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Also irgendwie komme ich mit der Aufgabe keinen Schritt witer, ich beiße mir schon die ganze Zeit die Zähne daran aus. Also: " Die Aufgabenstellung lautet ja "Die Zahl x aus dem halboffenen Intervall 0,1habe die Dezimalbruchentwicklung x=o,z1z2z3 Zeigen Sie x ist genau dann rationael, wenn diese Entwicklung von einer Stelle n an periodisch ist " Ich muss ja hier zwei Richtungen zeigen einmal davon ausgehen, dass x rational ist und einmal dass die Darstellung von einer Stelle an periodisch ist. Aber irgendwie bekomme ich überhaupt keine Verbindungen hergestellt, geschweige denn irgendetwas formal aufegschrieben. kann mir bitte jemand helfen, es ist dringend denn ich benötige die Aufgabe bis morgen!!!!!!!!!!!!!!
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Hallo, Yellobird
${p,q} [mm] \subset \IN$, [/mm] p < q
die Division p : q bricht entweder ab oder ist periodisch.
Wenn sie abbricht, kannst Du die letzte Ziffer, z, durch z-1 ersetzen und die einstellige Periode aus lauter 9nern folgen lassen
( die Summer dieser unendlichen geometrischen Reihe ergibt auch wieder die 1 die der letzten Ziffer abgezogen wurde
)
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