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Reihen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Mi 07.11.2007
Autor: Mike_1988



Es wäre super wenn mir jemand eine Idee geben könnte.

Danke im Voraus
Michael

PS.: Es kommt in keinem anderen forum vor.

        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:00 Do 08.11.2007
Autor: schachuzipus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Michael,

ich würde deine Potenzreihe zunächst ein wenig umschreiben, so dass sie die "Standardform" einer Potenzreihe hat:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \pmat{2n \\ n}\cdot{}(x^2-1)^{2n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \underbrace{\pmat{2n \\ n}}_{:=a_n}\cdot{}\left(\underbrace{(x^2-1)^{2}}_{:=z}\right)^n}$

Nun berechne $R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$

Dann ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $r=\frac{1}{R}$ und die Reihe konvergiert für $|z|<r$ und divergiert für $|z|>r$


Also $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\pmat{2(n+1)\\n+1}}{\pmat{2n\\n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\pmat{2n+2\\n+1}}{\pmat{2n\\n}}\right|$

Nun die Definition von $\pmat{n\\k}$ benutzen...

Die Beträge kannste auch weglassen, ist ja alles positiv

$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{(2n+2)(2n+1)\cdot{}2n\cdot{}(2n-1)\cdot{}.....\cdot{}(n+3)(n+2)}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{2n(2n-1)\cdot{}.....\cdot{}(n+3)(n+2)(n+1)}\right)$

Ich habe direkt mit dem Kehrbruch multipliziert....

Nun ausgiebig kürzen. Dabei bedenke: $(n+1)!=n!(n+1)$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2(2n+1)}{n+1}=4=R$

Also Konvergenzradius $r=\frac{1}{R}=\frac{1}{4}$

Also konvergiert die Reihe für $|z|<\frac{1}{4}$

Also für $(x^2-1)^2<\frac{1}{4}$

Die in Frage kommenden $x$ kannst du nun selber berechnen ;-)

Hoffe, ich hab mich nirgends verrechnet oder verschrieben


LG

schachuzipus

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