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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Mi 09.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Man untersuche folgende Reihen auf Konvergenz!
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2-5}{2^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{1}{\wurzel{n}+1} [/mm] |
a) Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(n+1)^2-5}{2^n^+^1}}{\bruch{n^2-5}{2^n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{n^2+2n+1-5}{2*2^n}}{
\bruch{n^2-5}{2^n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n^2+2n+4)*2^n}{(n^2-5)*2*2^n}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n^2+2n+4)}{(2n^2-10)}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Die Reihe ist konvergent
b) Es handelt sich um eine alternierende Reihe, daher Konvergenz durch Konvergenzkriterium von Leibnitz prüfen.
Es handelt sich um eine monoton fallende Nullfolge - daher konvergiert die Reihe!
Stimmt das so?
Bitte kontrollieren!
Danke und lg
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Hallo babsbabs!
a) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
b) auch in Ordnung allerdings musst du das noch zeigen dass es sich um eine monoton fallende Nullfolge handelt.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Mi 09.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
wie zeig ich am geschicktesten, dass es eine monoton fallende nullfolge ist
ich habe halt ein paar werte eingesetzt und nachgeschaut wie sich das entwickelt - und daraus geschlossen, dass es eine monoton fallende nullfolge ist
weiss, dass das wohl kein ausreichender beweis ist
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Hallo Barbara,
zeige doch am einfachsten, dass [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] monoton steigend ist, dass also für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$
[/mm]
Dann ist auch [mm] $\sqrt{n}+1$ [/mm] monoton steigend und damit [mm] $\frac{1}{\sqrt{n}+1}$ [/mm] monoton fallend
Gruß
schachuzipus
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