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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:13 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo liebe Matheraum- Community. Ich würde gerne folgendes wissen: Wie genau kann man die Summe einer Reihe berechnen? Beispielsweise würde ich gerne die Summe der folgenden Reihe ermitteln:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2^{2n}/(2n+2)!)*x^{2n+2}
[/mm]
Wie genau geht man bei der Berechnung vor? Da es sich ja hier um eine Potenzreihe handelt, hätte man ja bereits die Gestalt einer unendlichen geometrischen Reihe. Könnte man dann damit etwas anfangen? Oder gibt es eine Methode, die quasi stets anwendbar ist? Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Fr 08.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo liebe Matheraum- Community. Ich würde gerne folgendes
> wissen: Wie genau kann man die Summe einer Reihe berechnen?
> Beispielsweise würde ich gerne die Summe der folgenden
> Reihe ermitteln:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2^{2n}/(2n+2)!)*x^{2n+2}[/mm]
Schau Dir mal die Potenzreihenentwicklung von coshx geanau an. Damit solltest Du weiterkommen.
>
> Wie genau geht man bei der Berechnung vor?
>Da es sich ja
> hier um eine Potenzreihe handelt, hätte man ja bereits die
> Gestalt einer unendlichen geometrischen Reihe.
Deine obige Reihe ist keine geometrische Reihe !!!!
>Könnte man
> dann damit etwas anfangen? Oder gibt es eine Methode, die
> quasi stets anwendbar ist?
Solch ein Kochrezept gibt es nicht
>Über eine Antwort würde ich mich
> sehr freuen. Gruß,
>
>
> Marcel
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Die angegebene Reihe ist eine Stammfunktion der Potenzreihe von sinh(x)*cosh(x). Ein wesentliches Merkmal einer Potenzreihe sowie einer geometrischen Reihe ist doch der Faktor [mm] x^{n}, [/mm] oder täusche ich mich da? Deswegen hatte ich da eine Gemeinsamkeit vermutet. Also kann man sich bei der Berechnung nicht an der geometrischen Reihe orientieren? Wie geht man denn generell an die Berechnung der Summe einer Reihe heran, wenn es keine einheitliche Methode gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Fr 08.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Die angegebene Reihe ist eine Stammfunktion der Potenzreihe
> von sinh(x)*cosh(x). Ein wesentliches Merkmal einer
> Potenzreihe sowie einer geometrischen Reihe ist doch der
> Faktor [mm]x^{n},[/mm] oder täusche ich mich da? Deswegen hatte ich
> da eine Gemeinsamkeit vermutet.
Ähm ja... die geometrische Reihe ist eine (sehr einfache) Potenzreihe.
> Also kann man sich bei der
> Berechnung nicht an der geometrischen Reihe orientieren?
Ich nehme an du hättest gern eine schöne geschlossene Form für diese oder beliebige Potenzreihen... es ist jedenfalls i.A. sehr schwer, manchmal sogar vielleicht unmöglich, sowas zu finden (das war noch nett ausgedrückt).
> Wie geht man denn generell an die Berechnung der Summe
> einer Reihe heran, wenn es keine einheitliche Methode gibt?
Naja ein sehr natürlicher Ansatz wäre ja einfach hinreichend große Partialsummen auszurechnen, aber das Problem ist das man i.A. überhaupt nicht weiß wie groß die Abweichung der n-ten Partialsumme vom tatsächlichen Reihenwert ist, d.h. man muss sozusagen die "Konvergenzgeschwindigkeit" kennen, die i.A. natürlich auch noch von der betrachteten Stelle $x$ abhängt. Für Potenzreihen gibt aber bestimmt ein paar Abschätzungen, dafür sind sie einfach zu gut erforscht. Das ist nur ne Vermutung, aber vielleicht konvergieren sie ja umso schneller, je größer $|x|-R$ (der Abstand vom "Konvergenzkreisrand") ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Das heisst also, dass man "nur" durch entsprechende Umformungen der vorliegenden Reihe und/ oder durch den Vergleich mit bereits bekannten Summen anderer Reihen (Majorantenkriterium) vorankommen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 08.08.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das heisst also, dass man "nur" durch entsprechende
> Umformungen der vorliegenden Reihe und/ oder durch den
> Vergleich mit bereits bekannten Summen anderer Reihen
> (Majorantenkriterium) vorankommen kann?
Das heißt im Allgemeinen gibt es einfach kein Kochrezept und es ist i.A. sehr schwer den Grenzwert zu berechnen.
In diesem Speziellen Fall.. wenn die Reihe einfach eine Stammfunktion von [mm] $\sinh(x)\cosh(x)$ [/mm] ist - wieso rechnest du nicht einfach die Stammfunktion aus mit partieller Integration?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Die Reihe ist eine Stammfunktion vom Produkt der Potenzreihen der gegebenen Hyperbelfunktionen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
Bilde doch mal die Stammfunktion zu $f(x) \ = \ [mm] \sinh(x)*\cosh(x)$ [/mm] mittels partieller Integration oder Substitution.
Mit diesem Ergebnis kannst Du doch dann auch automatisch den Wert Deiner o.g. Reihe bestimmen.
Gruß
Loddar
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