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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{k}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen und sei
[mm] a_{k}':=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}.
[/mm]
1. Zeige: Konvergiert [mm] (a_{k}) [/mm] gegen ein a [mm] \in \IR, [/mm] so konvergiert auch [mm] a_{k}' [/mm] gegen a.
2. Gilt auch die Umkehrung? |
Mein Ansatz ist, dass ich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] als die Reihe
[mm] \bruch{1}{n}:=\summe_{k=1}^{n} b_{k} [/mm] mit [mm] b_{1}:=1 [/mm] und [mm] b_{n}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n-1}
[/mm]
darstelle.
Und dann [mm] a_{k}':=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] umschreibe als
[mm] a_{k}':=\summe_{k=1}^{n}b_{k}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}=\summe_{k=1}^{n}c_{k}
[/mm]
mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}c_{k}=a
[/mm]
Geht das? Oder liege ich mit meinem Ansatz völlig falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 So 12.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a_{k})[/mm] eine Folge reeller Zahlen und sei
>
> [mm]a_{k}':=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}.[/mm]
>
> 1. Zeige: Konvergiert [mm](a_{k})[/mm] gegen ein a [mm]\in \IR,[/mm] so
> konvergiert auch [mm]a_{k}'[/mm] gegen a.
> 2. Gilt auch die Umkehrung?
>
> Mein Ansatz ist, dass ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] als die Reihe
>
> [mm]\bruch{1}{n}:=\summe_{k=1}^{n} b_{k}[/mm] mit [mm]b_{1}:=1[/mm] und
> [mm]b_{n}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n-1}[/mm]
>
> darstelle.
> Und dann [mm]a_{k}':=\bruch{1}{n}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}[/mm]
> umschreibe als
>
> [mm]a_{k}':=\summe_{k=1}^{n}b_{k}*\summe_{k=1}^{n}a_{k}=\summe_{k=1}^{n}c_{k}[/mm]
>
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}c_{k}=a[/mm]
>
> Geht das? Oder liege ich mit meinem Ansatz völlig falsch?
Völlig.
Cauchyscher Grenzwertsatz
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Neuer Ansatz:
Sei n > m und [mm] |a_{n}-a|< \bruch{\varepsilon }{2}
[/mm]
[mm] \left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-a\right|=\left|\frac{a_1+...+a_n-(n)a}{n}\right|=\left|\frac{(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|
[/mm]
[mm] \leq \left|\frac{(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n}\right|+\left|\frac{(a_{m+1}-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|.[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Neuer Ansatz:
>
> Sei n > m und [mm]|a_{n}-a|< \bruch{\varepsilon }{2}[/mm]
>
> [mm]\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-a\right|=\left|\frac{a_1+...+a_n-(n)a}{n}\right|=\left|\frac{(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|[/mm]
>
> [mm]\leq \left|\frac{(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n}\right|+\left|\frac{(a_{m+1}-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|.[/mm]
und? Erzähl weiter, was Du machen willst. (Für was brauchst Du oben das
[mm] $\varepsilon$? [/mm] Was ist mit dem ersten Bruch rechterhand - wie klein kannst
Du den bekommen?)
Ich hab' so'n bisschen das Gefühl, dass Du das irgendwo blind kopiert hast
und es nun als DEIN Ansatz verkaufen willst. Das glaube ich Dir erst, wenn
Du mit Erklärungen, was da gemacht wurde und was das Ziel ist, auch
beweist, dass Du das überhaupt verstanden hast!
P.S. Zur 2. Frage: Betrachte [mm] $a_k:=(-1)^k\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Also es ist ja so, dass sich [mm] a_{n} [/mm] immer weiter an seinen Grenzwert a annähert. Deshalb gilt, dass [mm] |a_{n}-a|< \bruch{\varepsilon }{2}, \varepsilon>0.
[/mm]
Da habe ich erst einmal gesammelt, was ich schon weiß.
Jetzt kommt, dass ich noch beweisen will, dass dann auch [mm] a_{k}':=\bruch{1}{n}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] den Grenzwert a hat.
Deshalb ist zu zeigen, dass [mm] |a_{k}'-a|< \bruch{\varepsilon }{2} [/mm] gilt.
Wenn ich a mit n erweitere, kann ich es in den Bruch ziehen. Und da ich n Elemente von [mm] a_{k} [/mm] und n Elemente von a habe, kann ich diese so zusammenfassen.
Aus der Dreiecksungleichung folgt dann, dass
[mm] \left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-a\right|=\left|\frac{a_1+...+a_n-(n)a}{n}\right|=\left|\frac{(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|
[/mm]
[mm] \leq \left|\frac{(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n}\right|+\left|\frac{(a_{m+1}-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|. [/mm]
Das möchte ich jetzt auf [mm] \bruch{\varepsilon }{2}+\bruch{\varepsilon }{2} [/mm] trimmen, da überlege ich noch...
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Neue Idee:
Ich wähle mein [mm] \varepsilon [/mm] so groß, dass [mm] (a_k-a)< \varepsilon [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Dann ist
[mm] \left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-a\right|=\left|\frac{a_1+...+a_n-(n)a}{n}\right|=\left|\frac{(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|
[/mm]
[mm] \leq \left|\frac{n*\varepsilon}{n}\right| =\varepsilon
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Neue Idee:
>
> Ich wähle mein [mm]\varepsilon[/mm] so groß, dass [mm](a_k-a)< \varepsilon[/mm]
> für alle k [mm]\in \IN[/mm] gilt.
>
> Dann ist
>
> [mm]\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-a\right|=\left|\frac{a_1+...+a_n-(n)a}{n}\right|=\left|\frac{(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|[/mm]
> [mm]\leq \left|\frac{n*\varepsilon}{n}\right| =\varepsilon[/mm]
nein - Du musst vor allem noch [mm] $n\,$ [/mm] groß genug wählen - der erste
Summand
[mm] $$\frac{1}{n}|\sum_{k=1}^m (a_k-a)|$$
[/mm]
muss noch [mm] $\le \varepsilon/2$ [/mm] *geprügelt werden*!
Siehe meine andere Antwort!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Mo 13.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also es ist ja so, dass sich [mm]a_{n}[/mm] immer weiter an seinen
> Grenzwert a annähert. Deshalb gilt, dass [mm]|a_{n}-a|< \bruch{\varepsilon }{2}, \varepsilon>0.[/mm]
nach wie vor: Für welche [mm] $n\,$ [/mm] gilt das denn? Für alle wäre FALSCH!
> Da habe ich erst einmal gesammelt, was ich schon weiß.
>
> Jetzt kommt, dass ich noch beweisen will, dass dann auch
> [mm]a_{k}':=\bruch{1}{n}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}a_{k}[/mm]
Du meinst
[mm] $$a_{n}':=\bruch{1}{n}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}a_{k}$$
[/mm]
> den
> Grenzwert a hat.
>
> Deshalb ist zu zeigen, dass [mm]|a_{k}'-a|< \bruch{\varepsilon }{2}[/mm]
Nein. Was genau ist - rein per Definitionem, bitteschön zu zeigen? Für alle
[mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] derart, dass... ?!
> gilt.
>
> Wenn ich a mit n erweitere, kann ich es in den Bruch
> ziehen. Und da ich n Elemente von [mm]a_{k}[/mm] und n Elemente von
> a habe, kann ich diese so zusammenfassen.
Genau:
[mm] $$|a_n'-a|=|\tfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k -\tfrac{1}{n}*(n*a)|=|\tfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k -\tfrac{1}{n}*\sum_{k=1}^n a|=\tfrac{1}{n}|\sum_{k=1}^n (a_k-a)|$$
[/mm]
> Aus der Dreiecksungleichung folgt dann, dass
>
> [mm]\left|\frac{a_1+...+a_n}{n}-a\right|=\left|\frac{a_1+...+a_n-(n)a}{n}\right|=\left|\frac{(a_1-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|[/mm]
> [mm]\leq \left|\frac{(a_1-a)+...+(a_m-a)}{n}\right|+\left|\frac{(a_{m+1}-a)+...+(a_n-a)}{n}\right|.[/mm]
Ja:
[mm] $$|a_n'-a| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}|\sum_{k=m+1}^n(a_k-a)|$$
[/mm]
sieht doch schonmal ganz gut aus, findest Du nicht? Wir schätzen das mal
etwas weiter ab:
[mm] $$|a_n'-a| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}|\sum_{k=m+1}^n(a_k-a)| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,}\,.$$
[/mm]
Ist nun $m [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $|a_k-a| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] für alle $k [mm] \ge [/mm] m$ gilt, so hast Du
[mm] $$\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,} [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2}\,;$$
[/mm]
warum? (Beachte, dass bei [mm] $\frac{1}{n}*(n-(m+1)+1) *\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] halt $0 [mm] \le [/mm] n-m [mm] \le [/mm] n$ gilt!)
> Das möchte ich jetzt auf [mm]\bruch{\varepsilon }{2}+\bruch{\varepsilon }{2}[/mm]
> trimmen, da überlege ich noch...
Bei [mm] $|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|$ [/mm] ist [mm] $m\,,$ [/mm] für [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ fest, ja so gewählt, dass
[mm] $|a_k-a| [/mm] < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] für alle $k [mm] \ge m\,.$ [/mm] Insbesondere ist damit [mm] $m\,$ [/mm] fest.
Was passiert denn dann mit
[mm] $\tfrac{1}{n}*|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|$ [/mm]
bei $n [mm] \to \infty$? [/mm]
(Beachte bitte, dass wir, wenn Du obige Überlegung fortführst, folgendes weißt:
Es gilt
[mm] $|a_n'-a| \;<\; \tfrac{1}{n}*|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
und das Folgende ist jetzt wichtig: für ALLE $n [mm] \in \IN\,,$ [/mm] wobei [mm] $m=m_\varepsilon \in \IN$ [/mm] auch UNABHÄNGIG von [mm] $n\,$ [/mm]
gewählt worden ist!)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> Für welche [mm]n\,[/mm] gilt das denn? Für alle
> wäre FALSCH!
Stimmt, ich meine
ist K [mm] \in \IN [/mm] genügend groß gewählt, dann ist
[mm] |a_{n_{k}}-a|< \bruch{\varepsilon }{2}, \varepsilon>0, [/mm]
für alle [mm] n_{k} [/mm] > K
> Du meinst
> [mm]a_{n}':=\bruch{1}{n}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}a_{k}[/mm]
Genau. :)
> > Deshalb ist zu zeigen, dass [mm]|a_{k}'-a|< \bruch{\varepsilon }{2}[/mm]
> Für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]N_\varepsilon \in \IN[/mm]
> derart, dass
[mm] |a_{n_{k}}'-a|< \bruch{\varepsilon }{2}
[/mm]
für [mm] n_{k} [/mm] > [mm]N_\varepsilon \in \IN[/mm]
gilt. (Korrekt?)
Es folgt
> [mm]|a_n'-a|=|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k -\tfrac{1}{n}*(n*a)|=|\tfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k -\tfrac{1}{n}*\sum_{k=1}^n a|=\tfrac{1}{n}|\sum_{k=1}^n (a_k-a)|[/mm]
> [mm]|a_n'-a| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}|\sum_{k=m+1}^n(a_k-a)|[/mm]
> [mm]|a_n'-a| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}|\sum_{k=m+1}^n(a_k-a)| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,}\,.[/mm]
>
> Ist nun [mm]m \in \IN[/mm] so, dass [mm]|a_k-a| < \varepsilon/2[/mm] für
> alle [mm]k \ge m[/mm] gilt, so hast Du
> [mm]\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,} < \frac{\varepsilon}{2}\,;[/mm]
>
> warum?
Weil [mm]\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,} < \frac{\varepsilon}{2}*\frac{1}{n}< \frac{\varepsilon}{2};[/mm]
Nur leider verstehe ich diese Zeile nicht (bzw. wo diese herkommt):
> Beachte, dass bei $ [mm] \frac{1}{n}\cdot{}(n-(m+1)+1) \cdot{}\frac{\varepsilon}{2} [/mm] $ halt $ 0 [mm] \le [/mm] n-m [mm] \le [/mm] n $ gilt!)
> Bei $ [mm] |\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)| [/mm] $ ist $ [mm] m\,, [/mm] $ für $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ fest, ja so gewählt, dass
> $ [mm] |a_k-a| [/mm] < [mm] \varepsilon/2 [/mm] $ für alle $ k [mm] \ge m\,. [/mm] $ Insbesondere ist damit $ [mm] m\, [/mm] $ fest.
> Was passiert denn dann mit
>
> $ [mm] \tfrac{1}{n}\cdot{}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)| [/mm] $
>
> bei $ n [mm] \to \infty [/mm] $?
Es folgt, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\cdot{}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)| [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\cdot{} [/mm] * Konstante < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
> (Beachte bitte, dass wir, wenn Du obige Überlegung fortführst, folgendes weißt:
> Es gilt
>
> $ [mm] |a_n'-a| \;<\; \tfrac{1}{n}\cdot{}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)>|+\frac{\varepsilon}{2} [/mm] $
>
> und das Folgende ist jetzt wichtig: für ALLE $ n [mm] \in \IN\,, [/mm] $ wobei $ [mm] m=m_\varepsilon \in \IN [/mm] $ auch UNABHÄNGIG von $ [mm] n\, [/mm] $
> gewählt worden ist!)
PS: Ich habe mich noch gar nicht für die nette Unterstützung bedankt. Also: Danke!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > Für welche [mm]n\,[/mm] gilt das denn? Für alle
> > wäre FALSCH!
>
> Stimmt, ich meine
>
> ist K [mm]\in \IN[/mm] genügend groß gewählt, dann ist
>
> [mm]|a_{n_{k}}-a|< \bruch{\varepsilon }{2}, \varepsilon>0,[/mm]
> für alle [mm]n_{k}[/mm] > K
das ist zwar richtig, aber was willst Du hier mit der Notation der [mm] $n_k$'s? [/mm]
Wir haben keine Teilfolge...
>
> > Du meinst
> > [mm]a_{n}':=\bruch{1}{n}\cdot{}\summe_{k=1}^{n}a_{k}[/mm]
>
> Genau. :)
>
> > > Deshalb ist zu zeigen, dass [mm]|a_{k}'-a|< \bruch{\varepsilon }{2}[/mm]
>
> > Für alle [mm]\varepsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]N_\varepsilon \in \IN[/mm]
> > derart, dass
>
> [mm]|a_{n_{k}}'-a|< \bruch{\varepsilon }{2}[/mm]
> für [mm]n_{k}[/mm] >
> [mm]N_\varepsilon \in \IN[/mm]
>
> gilt. (Korrekt?)
Schreibe einfach "für (alle) $n > [mm] N_\varepsilon$" [/mm] anstatt dieser [mm] $n_k$ [/mm] dort...
> Es folgt
>
> > [mm]|a_n'-a|=|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k -\tfrac{1}{n}*(n*a)|=|\tfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k -\tfrac{1}{n}*\sum_{k=1}^n a|=\tfrac{1}{n}|\sum_{k=1}^n (a_k-a)|[/mm]
>
> > [mm]|a_n'-a| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}|\sum_{k=m+1}^n(a_k-a)|[/mm]
>
> > [mm]|a_n'-a| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}|\sum_{k=m+1}^n(a_k-a)| \le \frac{1}{n}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|+\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,}\,.[/mm]
>
> >
> > Ist nun [mm]m \in \IN[/mm] so, dass [mm]|a_k-a| < \varepsilon/2[/mm] für
> > alle [mm]k \ge m[/mm] gilt, so hast Du
> > [mm]\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,} < \frac{\varepsilon}{2}\,;[/mm]
>
> >
> > warum?
>
> Weil [mm]\tfrac{1}{n}\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,} < \frac{\varepsilon}{2}*\frac{1}{n}< \frac{\varepsilon}{2};[/mm]
Ne: Du kannst nicht [mm] $\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,} <\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] bekommen, Du weißt doch nur, dass dort diese
[mm] $|a_k-a|$ [/mm] alle $< [mm] \varepsilon/2$ [/mm] sind, und zwar, weil [mm] $m=m_\varepsilon\,$ [/mm] genügend groß ist!
Also:
[mm] $\sum_{k=m+1}^n\red{\,|\,}a_k-a\red{\,|\,} [/mm] < [mm] \sum_{k=m+1}^n \frac{\varepsilon}{2}\,.$
[/mm]
Jetzt denke drüber nach:
> Nur leider verstehe ich diese Zeile nicht (bzw. wo diese
> herkommt):
> > Beachte, dass bei [mm]\frac{1}{n}\cdot{}(n-(m+1)+1) \cdot{}\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> halt [mm]0 \le n-m \le n[/mm] gilt!)
Vielleicht weißt Du nun, wo diese herkommt? (Beachte, dass in [mm] $\sum_{k=m+1}^n \frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] das [mm] $\varepsilon$ [/mm] nicht von [mm] $k\,$ [/mm] abhängt!)
>
> > Bei [mm]|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|[/mm] ist [mm]m\,,[/mm] für [mm]\varepsilon > 0 [/mm]
> fest, ja so gewählt, dass
> > [mm]|a_k-a| < \varepsilon/2[/mm] für alle [mm]k \ge m\,.[/mm] Insbesondere
> ist damit [mm]m\,[/mm] fest.
>
>
> > Was passiert denn dann mit
> >
> > [mm]\tfrac{1}{n}\cdot{}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|[/mm]
> >
> > bei [mm]n \to \infty [/mm]?
>
> Es folgt, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\cdot{}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|[/mm]
> = [mm]\frac{1}{n}\cdot{}[/mm] * Konstante < [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
Autsch, da vermischst Du nun alles (das erste Gleichheitszeichen unsinnig):
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\cdot{}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)|=(\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n})*\text{Konstante}=0*\text{Konstante}=0\,.$$
[/mm]
(Du kannst doch nicht einfach einen Limes wegwerfen...)
Also existiert insbesondere ein [mm] $N'=N_{\varepsilon}' \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $$\tfrac{1}{n}*|\sum_{k=1}^m |a_k-a| \le \varepsilon/2$$
[/mm]
für alle $n > [mm] N'\,.$
[/mm]
Damit bekommst Du insgesamt die $< [mm] \varepsilon$-Abschätzung [/mm] hin!
> > (Beachte bitte, dass wir, wenn Du obige Überlegung
> fortführst, folgendes weißt:
> > Es gilt
> >
> > [mm]|a_n'-a| \;<\; \tfrac{1}{n}\cdot{}|\sum_{k=1}^\red{m} (a_k-a)>|+\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> >
> > und das Folgende ist jetzt wichtig: für ALLE [mm]n \in \IN\,,[/mm]
> wobei [mm]m=m_\varepsilon \in \IN[/mm] auch UNABHÄNGIG von [mm]n\,[/mm]
> > gewählt worden ist!)
>
> PS: Ich habe mich noch gar nicht für die nette
> Unterstützung bedankt. Also: Danke!!
Gerne! 
Gruß,
Marcel
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