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Hi,
a) Geben Sie alle reelen Zahlen x mit der Eigenschaft an, dass die Folgende Reihe divergiert:
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \wurzel{k} [/mm] * [mm] x^{2k}$
[/mm]
b) Untersuchen Sie, welche der folgenden Gleichungen eine reele Lösung x besitzen.
$(i) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{sin x}{2})^{2k}=\bruch{cos x}{2},$ [/mm]
$(ii) [mm] \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{sin x}{2})^{2k}=2 [/mm] * cos x$
Lösungsversuch:
Also bei der a) bin ich durch überlegen drauf gekommen, dass die Reihe divergiert für $0 > x > 0$. Dann hab ich eine Fallunterscheidung gemacht:
$x < 0:$
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{k} [/mm] * [mm] x^{2k} [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
$x > 0:$
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel{k} [/mm] * [mm] x^{2k} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
Kann man das so machen? Ist es wirklich so einfach? Kann ich garnicht glauben. Es gab nämlich nicht unerheblich viel Punkte in dieser alten Klaururaufgabe.
Bei der b) hab ich erstmal keine wirkliche Idee. Ist aber bestimmt ne gute Idee erst mal den Grenzwert der Reihe zu bilden. Aber was dann? Kann mir jemand auf die Sprünge helfen und den Lösungsweg erklären?
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:17 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Bin bissle erstaunt über k und i bei der b)
Aber ich würd die Potenzreihen von sinus und cosinus einsetzen und dann schau'n..
Faenôl
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:40 Mi 26.01.2005 | | Autor: | andreas99 |
> Bin bissle erstaunt über k und i bei der b)
Tippfehler, bzw. die Vorgabe nicht ersetzt. Richtig ist:
$(i) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{sin x}{2})^{2k}=\bruch{cos x}{2},$
[/mm]
$(ii) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{sin x}{2})^{2k}=2 [/mm] * cos x$
> Aber ich würd die Potenzreihen von sinus und cosinus
> einsetzen und dann schau'n..
Ok, ein Blick ins Formelbuch hilft weiter. Also:
$sin x = [mm] \bruch{x^1}{1!}-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^7}{7!}+- \cdots$
[/mm]
$cos x = 1 - [mm] \bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}+- \cdots$
[/mm]
bzw.
$sin x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
[/mm]
$cos x = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{x^{2k}}{(2k)!}$
[/mm]
wenn ich das jetzt einsetze, dann komme ich zu:
$(i) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n * \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{4k}=\bruch{\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k * \bruch{x^{2k}}{(2k)!}}{2}$
[/mm]
und:
$(i) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n * \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{4k}=2 [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k [/mm] * [mm] \bruch{x^{2k}}{(2k)!}$
[/mm]
Und wie geht es jetzt weiter? Irgendwie den Grenzwert bilden oder so? Bitte lass wenigstens irgendwas von dem Kram oben richtig sein, sonst hab ich alles umsonst abgetippt 
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Matti66 |
Hi!
Was deinen Lösungsversuch angeht, so hast du 3 Behauptungen aufgestellt. Jetzt musst du mit den Kovergenzkriterien für Reihen noch deine Behauptungen beweisen.
Gruß
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Hallo andreas99
ich nehme an, daß in allen Fällen auch der
Summationsindex k statt i sein soll .
Bei
a) ist deine Schreibweise 0 > x > 0
etwas seltsam um nicht zu sagen widersprüchlich
denn teilt man das auf dann bedeutet es
x < 0 UND GLEICHZEITIG
x < 0 :)
was man hier wirklich tun sollte wäre, z.B.,
das Quotientenkriterium umzustellen
der Quotient [mm] $q=a_{i+1}/a_i$ [/mm] ist [mm] $\frac{\sqrt{i+1}x^{2i+2}}{\sqrt{i}x^{2i}}=x^2\sqrt{1+1/i}$
[/mm]
Eine
Reihe divergiert sicher wenn für dieses q gilt [mm] $\lim [/mm] _{i [mm] \rightarrow \infty} [/mm] > 1$
Für die [mm] $\sqrt{...}$ [/mm] ist der Grenzwert 1, wie muß also x sein damit der
ganze Grenzwert > 1 wird?
zu
b)
die Linken Seiten sind beide geometrische Reihen mit dem
Faktor [mm] $\left( \frac{\sin x}{2} \right) [/mm] ^2$ die für beliebige
reelle x konvergieren und deren Summe sich exakt angeben$^*)$ läßt .
Danach ist die Antwort auf die Frage trivial.
Gruß F.
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$^*)$ Die Summenformel der geometrischen Reihe wirst Du doch kennen oder finden können
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> was man hier wirklich tun sollte wäre, z.B.,
> das Quotientenkriterium umzustellen
> der Quotient [mm]q=a_{i+1}/a_i[/mm] ist
> [mm]\frac{\sqrt{i+1}x^{2i+2}}{\sqrt{i}x^{2i}}=x^2\sqrt{1+1/i}[/mm]
> Eine
> Reihe divergiert sicher wenn für dieses q gilt [mm]\lim _{i \rightarrow \infty} > 1[/mm]
>
> Für die [mm]\sqrt{...}[/mm] ist der Grenzwert 1, wie muß also x sein
> damit der
> ganze Grenzwert > 1 wird?
Ah, Quotientenkriterium war das Stichwort. Kann es sein, dass die Reihe divergiert für $x > 1$ und $x < -1$?
> b)
> die Linken Seiten sind beide geometrische Reihen mit dem
> Faktor [mm]\left( \frac{\sin x}{2} \right) ^2[/mm] die für
> beliebige
> reelle x konvergieren und deren Summe sich exakt
> angeben[mm]^*)[/mm] läßt .
> [mm]^*)[/mm] Die Summenformel der geometrischen Reihe wirst Du doch
> kennen oder finden können
Dazu musste man halt erstmal erkennen, dass es eine geometrische Reihe ist.
$ [mm] \summe_{i=n}^{\infty} aq^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{a}{1-q}$
[/mm]
> Danach ist die Antwort auf die Frage trivial.
Hm, so trivial kann ich das leider nicht finden. Zumindest sehe ich es noch nicht ganz. Also setze ich das mal ein:
[mm] $\bruch{a}{1-(\bruch{sin x}{2})^2}$
[/mm]
Was ist jetzt das Ziel? Muss ich wieder ein bestimmtes Konvergenzkriterum nutzen? Und wie spielt die rechte Seite da mit? Tut mir leid, dass ich nochmal nachfragen muss. Aber bis es bei einem Aufgabentyp mal Klick macht ist es immer so schwer...
Andreas
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Hallo, andreas99,
zu a) ja, | x | > 1
zu b)
das a ist ja 1,
die Gleichung (i) wird also zu
[mm] $\frac{4}{4-\sin ^2 x} [/mm] = [mm] \frac{\cos x}{2}$
[/mm]
[mm] $\frac{8}{3 + \cos ^2 x} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x$
$8 = [mm] 3*\cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] ^3 x [mm] \le [/mm] 4$
ich nehme an, die (ii)
kannst Du nun selbst
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Hallo Friedrich,
> zu b)
> das a ist ja 1,
> die Gleichung (i) wird also zu
> [mm]\frac{4}{4-\sin ^2 x} = \frac{\cos x}{2}[/mm]
> [mm]\frac{8}{3 + \cos ^2 x} = \cos x[/mm]
>
> [mm]8 = 3*\cos x + \cos ^3 x \le 4[/mm]
> ich nehme an, die (ii)
> kannst Du nun selbst
Ok, falls ich mich nicht verrechnet habe sollte das sein
$(ii) 2 = 3 * cosx + cos^3x$
Ich konnte mir erst nicht erklären wo die [mm] $\le [/mm] 4$ herkommt, aber schliesslich denke ich das beruht darauf, dass der $cos x$ ja maximal 1 ergeben kann. Folglich müsste bei $(ii)$ nun auch sein:
$2 [mm] \le [/mm] 4$
Kann ich nun also davon ausgehen, dass $(i)$ keine reele Lösung hat, weil $8 [mm] \le [/mm] 4$ ja wohl offensichtlich falsch ist und $(ii)$ eine hat, weil $2 [mm] \le [/mm] 4$ stimmt? Ist dies das ganze Geheimnis der Aufgabe?
Gruß
Andreas
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ja, ist es; $-4 [mm] \le 3*\cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] ^3 x [mm] \le [/mm] 4$, es muß also ein x geben für das es 2 ist.
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