Reihen Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Do 19.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n+1}{2*4^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{n}{(n+1)^k} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
c) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-2}{(n+2)(n+3)} [/mm] |
Hallo,
Ich muss die Grenzwerte der Reihen bestimmen.
Die a) ist klar. Ich schreibe um zu
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{4})^n =\bruch{3}{2} [/mm] * [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n
[/mm]
Das ist eine geometrische Reihe und somit ergibt sich mein Grenzwert zu:
[mm] \bruch{3}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}} [/mm] = 6
Bei der b) klemmts nun aber.
Ich habe zunächst wieder umgeschrieben:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{n}{(n+1)^k} [/mm] = [mm] n*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)^k}
[/mm]
Das müsste wieder die geometrische Reihe sein. Was ist hier aber nun mein x für den Grenzwert [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] ? Etwa [mm] \bruch{1}{1-(n+1)} [/mm] wegen [mm] \bruch{1}{(n+1)^k} [/mm] = [mm] (n+1)^{-k} [/mm] ? Kann ich für den negativen Exponenten die geometrische Reihe so anwenden ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Do 19.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n+1}{2*4^n}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{n}{(n+1)^k}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-2}{(n+2)(n+3)}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Ich muss die Grenzwerte der Reihen bestimmen.
> Die a) ist klar.
Tatsächlich ?
> Ich schreibe um zu
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{2}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^n =\bruch{3}{2}[/mm]
> * [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n[/mm]
Das stimmt nicht. Richtig ist:
[mm] \bruch{1}{2}(\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{3}{4})^n+\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{4})^n)
[/mm]
Und beachte, dass die Summation mit k=1 beginnt !!!!
> Das ist eine
> geometrische Reihe und somit ergibt sich mein Grenzwert
> zu:
>
> [mm]\bruch{3}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}[/mm] = 6
>
> Bei der b) klemmts nun aber.
>
> Ich habe zunächst wieder umgeschrieben:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{n}{(n+1)^k}[/mm] =
> [mm]n*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)^k}[/mm]
Es ist [mm]n*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)^k}=n*\summe_{k=1}^{\infty}( \bruch{1}{n+1})^k=n*\summe_{k=1}^{\infty}x^k [/mm]
mit $x= [mm] \bruch{1}{n+1}$
[/mm]
Auch hier beachte , dass die Summation mit k=1 beginnt.
FRED
> Das müsste
> wieder die geometrische Reihe sein. Was ist hier aber nun
> mein x für den Grenzwert [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] ? Etwa
> [mm]\bruch{1}{1-(n+1)}[/mm] wegen [mm]\bruch{1}{(n+1)^k}[/mm] = [mm](n+1)^{-k}[/mm] ?
> Kann ich für den negativen Exponenten die geometrische
> Reihe so anwenden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo bammbamm!
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n+1}{2*4^n}[/mm]
Gehört das "+1" im Zähler noch in den Exponenten; also: [mm]\bruch{3^{n+1}}{2*4^n}[/mm] ?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{2}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^n =\bruch{3}{2}[/mm] * [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n[/mm]
Dann stimmt Deine Umformung.
> Das ist eine geometrische Reihe und somit ergibt sich mein Grenzwert zu:
>
> [mm]\bruch{3}{2}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}[/mm] = 6
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Beachte Freds Hinweis, dass die Summe nicht mit [mm]n \ = \ \red{0}[/mm] startet.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Do 19.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Hallo bammbamm!
>
>
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> > a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n+1}{2*4^n}[/mm]
>
> Gehört das "+1" im Zähler noch in den Exponenten; also:
> [mm]\bruch{3^{n+1}}{2*4^n}[/mm] ?
>
>
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{2}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^n =\bruch{3}{2}[/mm]
> * [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n[/mm]
>
> Dann stimmt Deine Umformung.
Hallo,
ja das +1 sollte eigentlich in den Exponenten. Da ist mir ein Tippfehler im ForumCode unterlaufen.
Wenn ich nun noch berücksichtige das meine Summe bei 1 startet, komme ich auf
[mm] \bruch{3}{2}*\bruch{3}{4}*\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n [/mm] => [mm] \bruch{9}{8}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}=\bruch{9}{2}
[/mm]
Und für die b), dank Freds Tipp, komme ich nun auf [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{n+1}} [/mm] = 1
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Hallo bammbamm,
> > Hallo bammbamm!
> >
> >
> >
> > > a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n+1}{2*4^n}[/mm]
> >
> > Gehört das "+1" im Zähler noch in den Exponenten; also:
> > [mm]\bruch{3^{n+1}}{2*4^n}[/mm] ?
> >
> >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3}{2}[/mm] * [mm](\bruch{3}{4})^n =\bruch{3}{2}[/mm]
> > * [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n[/mm]
> >
> > Dann stimmt Deine Umformung.
>
> Hallo,
> ja das +1 sollte eigentlich in den Exponenten. Da ist mir
> ein Tippfehler im ForumCode unterlaufen.
Du musst Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern packen ...
>
> Wenn ich nun noch berücksichtige das meine Summe bei 1
> startet, komme ich auf
> [mm]\bruch{3}{2}*\bruch{3}{4}*\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{3}{4})^n[/mm]
> => [mm]\bruch{9}{8}*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}}=\bruch{9}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und für die b), dank Freds Tipp, komme ich nun auf
> [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{n+1}}[/mm] = 1
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Do 19.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo bammbamm!
Bei dieser Reihe zunächst eine Partialbruchzerlegung durchführen. Dann entsteht hier eine sogenannte "Teleskopsumme".
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Do 19.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
Ich habe das ganze nun mit Partialbruchzerlegung auseinander genommen.
Nun sitze ich vor folgendem:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-2}{(n+2)(n+3)}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)}-\bruch{2}{(n+2)}
[/mm]
Wie komme ich damit jetzt aber auf meinen Grenzwert ?
Wegen [mm] \bruch{2}{(n+3)} [/mm] < [mm] \bruch{2}{(n+2)} [/mm] weis ich schonmal das mein Grenzwert etwas negatives sein muss.
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Hallo bammbamm,
> Ich habe das ganze nun mit Partialbruchzerlegung
> auseinander genommen.
>
> Nun sitze ich vor folgendem:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{-2}{(n+2)(n+3)}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)}-\bruch{2}{(n+2)}[/mm]
>
> Wie komme ich damit jetzt aber auf meinen Grenzwert ?
>
Die Summe lässt sich doch aufspalten in zwei Summen:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)}-\bruch{2}{(n+2)}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)}-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{(n+2)}[/mm]
Schreibe Dir ersten Glieder dieser Summe auf.
Dann siehst Du schon, worauf es hinausläuft.
> Wegen [mm]\bruch{2}{(n+3)}[/mm] < [mm]\bruch{2}{(n+2)}[/mm] weis ich schonmal
> das mein Grenzwert etwas negatives sein muss.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 19.04.2012 | | Autor: | bammbamm |
> Die Summe lässt sich doch aufspalten in zwei Summen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)}-\bruch{2}{(n+2)}=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)}-\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2}{(n+2)}[/mm]
>
> Schreibe Dir ersten Glieder dieser Summe auf.
> Dann siehst Du schon, worauf es hinausläuft.
Jetzt habe ich das ganze noch weiter zerlegt. Komme aber trotzdem nicht weiter.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{2}{(n+2)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{4}* \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{(n+3)} [/mm] - [mm] \bruch{2}{3}*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{(n+2)} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+3)} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}*\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+2)}
[/mm]
Das es gegen -2/3 konvergiert kann ich durch ausrechnen der ersten Glieder ja feststellen. Aber dann hätte ich mir ja auch die ganze Aufgabe sparen können ? Wie komm ich also "mathematisch korrekt" auf meinen Grenzwert ?
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Hallo,
das Aufspalten in zwei unendliche Summen halte ich für ziemlich gewagt.
Der mir bekannte Weg ist, sich die Partialsummenfolge [mm](S_k)_{k\in\IN}[/mm] mit
[mm]S_k=\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{2}{n+3}-\frac{2}{n+2}\right)[/mm] anzusehen, das zu "verrechnen" und dann [mm]k\to\infty[/mm] laufen
zu lassen.
Hier hast du eine endliche Summe, die du gefahrlos auseinanderziehen kannst:
[mm]S_k=\sum\limits_{n=1}^k\frac{2}{n+3} \ - \ \sum\limits_{n=1}^k\frac{2}{n+2}[/mm]
Nun mache es, wie MP gesagt hat und schreibe dir die Summen mal ansatzweise hin, das ist eine schöne Teleskopsumme, in der sich das meiste weghebt ...
Oder mache eine Indexverschiebung, vermindere etwa an der hinteren Summe den Laufindex um 1 und gleiche das aus, indem du ihn entsprechend in der Summe um 1 erhöhst.
Also [mm]S_k=\sum\limits_{n=1}^k\frac{2}{n+3} \ - \ \sum\limits_{n=0}^{k-1}\frac{2}{n+3}[/mm]
Nun siehst du den Summen schon an, dass sich bis auf das Glied für n=k in der 1.Summe und das Glied für n=0 in der zweiten Summe alle anderen Glieder wegheben.
Bleibt: [mm]S_k=\frac{2}{k+3}-\frac{2}{0+3}=...[/mm].
Dann [mm]k\to\infty[/mm], denn [mm]\lim\limits_{k\to\infty}S_k=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{n=1}^k\left(\frac{2}{n+3}-\frac{2}{n+2}\right)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{n+3}-\frac{2}{n+2}\right)[/mm]
Gruß
schachuzipus
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