Reihen:Konvergenz des Produkts < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:13 Do 12.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie
[mm] \summe_{n\ge 0}^{}a_n b_n [/mm] konvergiert absolut, falls [mm] \summe_{n\ge 0}^{}a_n [/mm] absolut konvergiert und [mm] (b_n)n\ge0 [/mm] beschränkt ist. |
Ich hab nun rumprobiert und rumgedacht bin aber irgendwie auf nix sinnvolles gekommen.
Habe noch nicht einmal rausgefunden ob die Aussage nun stimmt oder nicht. Konnte jedoch kein sinniges Gegenbeispiel finden. Hatte mir aber zunächst gedacht, dass die Aussage nichtstimmt, weil b nicht nur beschränkt sondern auch konvergent sein muss. Mittlerweile bin ich mir nicht mehr so sicher, ob das gegeben sein muss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG Gnocchi
|
|
| |
|
moin Gnocci,
Dass eine Reihe absolut konvergiert kannst du zum Beispiel darüber zeigen, dass die Reihe der Beträge beschränkt ist.
Also [mm] $\summe_{n \geq 0} [/mm] | [mm] a_nb_n| [/mm] < c$ für ein $c [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dafür müsstest du eigentlich einen Satz irgendwo im Skript haben, falls nicht überleg dir mal, wieso du aus dieser Eigenschaft bereits absolute Konvergenz folgern kannst.
Dann überleg dir, ob dies nun für deine Reihe gilt.
Was genau kannst du daraus folgern, dass [mm] $b_n$ [/mm] beschränkt ist?
Was bedeutet dies für [mm] $|b_n|?
[/mm]
Kannst du aus der absoluten Konvergenz von [mm] $\summe_{n \geq 0} a_n$ [/mm] auch eine Aussage über [mm] $|a_n|$ [/mm] treffen?
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Do 12.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> moin Gnocci,
>
> Dass eine Reihe absolut konvergiert kannst du zum Beispiel
> darüber zeigen, dass die Reihe der Beträge beschränkt
> ist.
> Also [mm]\summe_{n \geq 0} | a_nb_n| < c[/mm] für ein [mm]c \in \IR[/mm].
>
> Dafür müsstest du eigentlich einen Satz irgendwo im
> Skript haben, falls nicht überleg dir mal, wieso du aus
> dieser Eigenschaft bereits absolute Konvergenz folgern
> kannst.
Den Satz konnte ich leider nicht finden. Aber wir haben ja dann ein c ,was einen festen Zahlenwert repräsentiert, welcher größer ist als die Summe unserer Reihe der Produkte. Also ist die Reihe ja beschränkt nach oben und kommt nicht über diesen Wert. Demnach konvergiert sie ja oder? Und absolute Konvergenz ist ja dann einfach dann gegeben, wenn auch der Betrag konvergiert.
>
> Dann überleg dir, ob dies nun für deine Reihe gilt.
> Was genau kannst du daraus folgern, dass [mm]b_n[/mm] beschränkt
> ist?
Genau da weiß ich glaub ich nicht, was ich folgern kann. Also wenn [mm] b_n [/mm] beschränkt ist, dann sagt das ja zum Beispiel noch nichts über die Konvergenz aus, da [mm] b_n [/mm] ja trotzdem noch divergieren kann.
> Was bedeutet dies für [mm]$|b_n|?[/mm]
> Kannst du aus der absoluten Konvergenz von [mm]\summe_{n \geq 0} a_n[/mm]
> auch eine Aussage über [mm]|a_n|[/mm] treffen?
[mm]|a_n|[/mm] müsste dann doch konvergieren?!
MfG Gnocchi
|
|
|
| |
|
Hallo Gnocchi,
nutze doch Freds Tipp:
[mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] beschränkt bedeutet doch, dass es ein [mm]M\in\IR^+_0[/mm] gibt mit [mm]|b_n|\le M[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Damit [mm]\sum\limits_{n}|a_n\cdot{}b_n| \ = \ \sum\limits_n|b_n|\cdot{}|a_n| \ \le \ \sum\limits_nM\cdot{}|a_n| \ = \ M\cdot{}\sum\limits_n|a_n|[/mm]
Was sagt dir das?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Do 12.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> Hallo Gnocchi,
>
> nutze doch Freds Tipp:
>
> [mm](b_n)_{n\in\IN}[/mm] beschränkt bedeutet doch, dass es ein
> [mm]M\in\IR^+_0[/mm] gibt mit [mm]|b_n|\le M[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Damit [mm]\sum\limits_{n}|a_n\cdot{}b_n| \ = \ \sum\limits_n|b_n|\cdot{}|a_n| \ \le \ \sum\limits_nM\cdot{}|a_n| \ = \ M\cdot{}\sum\limits_n|a_n|[/mm]
>
> Was sagt dir das?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Das sagt mir doch, wenn meine Majorante (M) konvergiert, dass dann [mm] \sum\limits_{n}|a_n\cdot{}b_n| [/mm] absolut konvergiert. Oder denk ich da falsch?
|
|
|
| |
|
Doch, doch, das stimmt so weit.
Nur dass $M$ hier nicht wirklich eine Majorante ist sondern eine feste reelle Zahl, also $M [mm] \in \IR$ [/mm] konstant.
Damit dürfte sich zeigen lassen, dass deine Reihe konvergiert. ;)
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Do 12.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Majorantenkriterium
FRED
|
|
|
|
