Reihen auf Konvergenz unters. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Sa 15.04.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
a)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{cos(k \pi)}{k+1}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{ \vektor{2k \\ k}}
[/mm]
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Hallo zusammen!
Komme mit obigen Aufgaben nicht zurecht!
Ich versuche die Kovergenz mit Hilfe des Quotientenkriteriums zu zeigen. Leider komme ich zu keinem Ergebnis.
Bei Aufgabe a) bin ich bis zu folgendem Schritt angelangt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] | [mm] \bruch{cos[(n+1) \pi]}{1+ \bruch{2}{n}} [/mm] * [mm] \bruch{1+ \bruch{1}{n}}{cos(n \pi)} [/mm] |
Bei Aufgabe b) weiß ich leider gar nicht weiter.
Gruß heine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 15.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Danke für den Tipp!
Durch Umformen und Kürzen bin ich zu dem Ausdruck [mm] \bruch{1}{4(k+1)} [/mm] gelangt. Und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{1}{4(k+1)} [/mm] ist 0 < 1, also konvergent.
Gruß heine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo heine!
Da hast Du aber etwas zuviel gekürzt ... ich erhalte als Grenzwert des Quotientenausdruckes [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 So 16.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Hab nochmal nachgerechnet. Ich komme jetzt auch auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] als Grenzwert.
Vielen Dank für deine Mühe!
Gruß heine
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Hallo heine,
Bei a) funktioniert das Quotientenkriterium nicht. Du kannst Dir aber überlegen welche Werte [mm] cos(k\pi [/mm] x) für gerade und ungerade k annimmt und Dir nochmal das Leibnitz Kriterium anschauen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Sa 15.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Hi! Danke für deinen Tipp!
Durch Einsetzen erhalte ich die Reihe -1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6...
Aber 1/2 > 1/3 > 1/4 >... , also konvergiert die Reihe.
Gruß heine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Sa 15.04.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe | c)
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{1}{arctan(k)}
[/mm]
d)
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} (\bruch{1}{arctan(k)})^k
[/mm]
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Danke nochmal für eure Antworten!
Habe noch weitere Fragen...
zu c)
Notwendiges Kriterium für Konvergenz
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{arctan(n)} [/mm] = 0
trifft nicht zu, denn der Ausdruck geht nach [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] wenn n nach Unendlich geht.
zu d)
Wurzelkriterium liefert den gleichen Ausdruck wie in c), also nicht konvergent.
Kann man so argumentieren?
Gruß heine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Sa 15.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Heine
zu den vorherigen Aufg: Deine ausgerechnete Formel für 2. soll doch [mm] a_{n}/a_{n+1} [/mm] sein. rechne noch mal nach, ich hab ein anderes Ergebnis!
Zuu c und d)
c ist richtig, kannst du den lim zeigen oder habt ihr ihn gemacht?
d) ist falsch!
[mm] \summe_{i=1}^{n}1/2 [/mm] divergiert!
[mm] \summe_{i=1}^{n}(1/2)^{n} [/mm] konvergiert! und [mm] 2/\pi [/mm] <1!
Was sagt denn dein Wurzelkriterium?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 15.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Hallo leduart!
Welche vorherige Aufgabe meinst du? b) ?
Ich hab mich ganz am Schluss verrechnet. Es müsste im Nenner heissen 2*(2n+1).
Habe folgende Schritte gemacht:
Also [mm] \bruch{1}{ \vektor{2n \\ n}} [/mm] kann man auch schreiben
[mm] \bruch{n!*n!}{(2n)!}
[/mm]
Und [mm] a_{n+1} [/mm] = ... = [mm] \bruch{n!*n!}{2(2n)!(2n+1)}
[/mm]
Noch teilen und dann komme ich auf mein oben genanntes Ergebnis.
Was meinst du bei c) mit lim zeigen?
Zu d)
Ist klar ich hab nicht gut hingeschaut. 2/pi < 1, also konvergent.
Gruß heine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo heine
> Hallo leduart!
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> Welche vorherige Aufgabe meinst du? b) ?
>
> Ich hab mich ganz am Schluss verrechnet. Es müsste im
> Nenner heissen 2*(2n+1).
>
> Habe folgende Schritte gemacht:
>
> Also [mm]\bruch{1}{ \vektor{2n \\ n}}[/mm] kann man auch schreiben
> [mm]\bruch{n!*n!}{(2n)!}[/mm]
>
> Und [mm]a_{n+1}[/mm] = ... = [mm]\bruch{n!*n!}{2(2n)!(2n+1)}[/mm]
versteh ich nicht! [mm] $a_{n+1}= [/mm] ... = [mm] \bruch{(n+1)!*(n+1)!}{(2n+2)!}$
[/mm]
damit komm ich nicht auf deine Umformung,
Warum teilst du nicht gleich?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:13 So 16.04.2006 | | Autor: | heine789 |
| Aufgabe | 1) Auf Konvergenz untersuchen
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}-1}- \bruch{1}{ \wurzel{2}+1}+ \bruch{1}{ \wurzel{3}-1}-\bruch{1}{ \wurzel{3}+1}+-... [/mm] .
2)
Schätzen Sie ab, wie viele Glieder mindestens summiert werden müssen, wenn [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] durch
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{2k-1}
[/mm]
auf vier Stellen genau zu berechnen ist.
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Hallo und frohe Ostern zusammen!
Ich hätte da noch ein paar Fragen zu obigen Aufgaben.
1)
Für die Reihe habe ich folgende Summendarstellung gefunden:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel{k+1}-1}-\bruch{1}{\wurzel{k+1}+1})
[/mm]
Durch Umformen erhalte ich [mm] 2*\summe_{i=k}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] und
komme zu dem Schluß, dass die Reihe divergiert weil die harmonische Reihe divergiert.
Ist das so ok?
2)
Hier verwende ich erstmal folgende Definition:
Die Näherung p' stimmt mit p auf t Ziffern überein, falls t die größte
nichtnegative ganze Zahl ist, für die gilt
[mm] \bruch{|p-p'|}{|p|} \le 5*10^{-t}
[/mm]
Durch Einsetzen erhalte ich folgende Ungleichung
0.78500... [mm] \le [/mm] p' [mm] \le [/mm] 0.78579...
Ich weiß jetzt in welchem Bereich mein Ergebnis liegen muß.
Aber wie geht jetzt das "Abschätzen"?
Gruß heine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:10 So 16.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo heune
> 1) Auf Konvergenz untersuchen
>
> [mm]\bruch{1}{ \wurzel{2}-1}- \bruch{1}{ \wurzel{2}+1}+ \bruch{1}{ \wurzel{3}-1}-\bruch{1}{ \wurzel{3}+1}+-...[/mm]
> .
>
> 2)
> Schätzen Sie ab, wie viele Glieder mindestens summiert
> werden müssen, wenn [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] durch
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{2k-1}[/mm]
> auf vier
> Stellen genau zu berechnen ist.
>
> Hallo und frohe Ostern zusammen!
>
> Ich hätte da noch ein paar Fragen zu obigen Aufgaben.
>
> 1)
> Für die Reihe habe ich folgende Summendarstellung
> gefunden:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{\wurzel{k+1}-1}-\bruch{1}{\wurzel{k+1}+1})[/mm]
> Durch Umformen erhalte ich [mm]2*\summe_{i=k}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm]
Summe k=1 bis sonst richtig
> komme zu dem Schluß, dass die Reihe divergiert weil die
> harmonische Reihe divergiert.
> Ist das so ok?
Ja
> 2)
> Hier verwende ich erstmal folgende Definition:
> Die Näherung p' stimmt mit p auf t Ziffern überein, falls
> t die größte
> nichtnegative ganze Zahl ist, für die gilt
> [mm]\bruch{|p-p'|}{|p|} \le 5*10^{-t}[/mm]
>
> Durch Einsetzen erhalte ich folgende Ungleichung
>
> 0.78500... [mm]\le[/mm] p' [mm]\le[/mm] 0.78579...
>
> Ich weiß jetzt in welchem Bereich mein Ergebnis liegen
> muß.
>
> Aber wie geht jetzt das "Abschätzen"?
Sorum geht es wohl kaum! die Reihe konvergiert gegen [mm] \pi/4, [/mm] also musst du sehen ab welchem Summenindex der Rest [mm] <5*10^{-5} [/mm] ist.
für alternierende Reihen gilt dass der rest ab n+1< [mm] a_{n+1}
[/mm]
siehe den Beweis in:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung286/
Gruss leduart
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Hallo leduart!
Danke für den link. Nur leider komm ich mit der Aufg. immer noch nicht zurecht.
Könntest du mir mal (oder jemand anders) nen Ansatz zeigen damit ich in die Rechnung rein komme?
Wir hatten in der Vorlesung das Restgleid in Zusammenhang mit den Tylor-Reihen besprochen, aber in diesem Falle ist das ja was anderes.
Gruß heine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Di 25.04.2006 | | Autor: | heine789 |
Hab die Lösung raus.
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Binomialkoeffizienten
