Reihen konvergiert, Reihenwert < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren, und berechnen Sie gegebenenfalls den Reihenwert.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1}) [/mm] |
Hallo und Guten Abend an alle,
natürlich habe ich noch mehr Aufgaben (oben in MZ geschrieben) aber ich will erstmal nur den Weg für eine Wissen, damit ich dann das auf die anderen anwenden kann... Also, wäre es toll, wenn mir jemand dabei helfen könnte... Ich hätte auch schon etwas anzubieten.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1})
[/mm]
das schreibt man ja an stelle von Partialsummenfolge...
und konvergiert eine Partialsummenfolge, so wird der Grenzwert als Reihenwert (Reihe) bezeichnet...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} S_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1})
[/mm]
Man kann leicht mit Induktion zeigen, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1}) [/mm] = 1 + ( [mm] \wurzel{2} [/mm] - 1) + ( [mm] \wurzel{3} [/mm] - [mm] \wurzel{2} [/mm] ) + (2- [mm] \wurzel{3} [/mm] ) +.....
+ ( [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1}) [/mm] = [mm] \wurzel{n} [/mm]
Es folgt, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1})
[/mm]
konvergiert mit
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \wurzel{k} [/mm] - [mm] \wurzel{k-1}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{n}
[/mm]
Meiner Meinung nach, fehlt da jetzt noch was... weil wenn n gegen unendlich geht... dann konvergiert meine Reihe gegen unendlich und dann
habe ich gar keinen Grenzwert... oder übersehe ich da was?
Für Hilfe und Antwort wäre ich sehr dankbar.
Vielen Dank
Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt.
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Hallo Doreen,
ich wuerd sagen: Ja ! Du hast recht, die Reihe divergiert, und Dein Argument sollte auch stimmen.
Viele Gruesse,
Mathias
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