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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:51 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Ich möchte die Zahl [mm] $0,\overline{4711}$ [/mm] als Bruch darstellen. |
Hierzu möchte ich die Zahl [mm] $0,\overline{4711}$ [/mm] erst als unendliche Summe darstellen. Ich hab das schon mal so gemacht:
[mm] $0,\overline{4711} [/mm] = 0,4711+0,00004711+0,000000004711+ ...$
Wie aber setze ich das in eine "echte" unendliche Summe um, und wie kann ich dann den Zähler und Nenner dieser unendliche Zahl bestimmen?
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Moin bandchef,
> Ich möchte die Zahl [mm]0,\overline{4711}[/mm] als Bruch
> darstellen.
> Hierzu möchte ich die Zahl [mm]0,\overline{4711}[/mm] erst als
> unendliche Summe darstellen. Ich hab das schon mal so
> gemacht:
>
> [mm]0,\overline{4711} = 0,4711+0,00004711+0,000000004711+ ...[/mm]
>
> Wie aber setze ich das in eine "echte" unendliche Summe um,
> und wie kann ich dann den Zähler und Nenner dieser
> unendliche Zahl bestimmen?
Es geht viel einfacher:
[mm] 0,\overline{4711}=\frac{4711}{9999}
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort, leider bin ich jetzt genauso schlau wie vorher  Nimm's mir nicht übel...
Ich kann mir doch nicht einfach so $ [mm] 0,\overline{4711}=\frac{4711}{9999} [/mm] $ aus den Fingern saugen. Ich hab jetzt noch weitere Überlegungen dazu gemacht:
[mm] $S=\sum_{i=1}^\infty a_i$ [/mm] sollte doch eigentlich schonmal ein richtiger Ausgangspunkt sein, oder? Wie gehts da jetzt weiter?
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Hallo bandchef,
> Danke für deine Antwort, leider bin ich jetzt genauso
> schlau wie vorher Nimm's mir nicht übel...
>
> Ich kann mir doch nicht einfach so
> [mm]0,\overline{4711}=\frac{4711}{9999}[/mm] aus den Fingern saugen.
> Ich hab jetzt noch weitere Überlegungen dazu gemacht:
>
> [mm]S=\sum_{i=1}^\infty a_i[/mm] sollte doch eigentlich schonmal ein
> richtiger Ausgangspunkt sein, oder? Wie gehts da jetzt
> weiter?
Nun, schaue dir Loddars Antwort an, bastel aus seinen Vorgaben eine geometrische Reihe und untersuche, welchen Wert sie hat.
Du wirst sehen, dass du genau auf die Bruchdarstellung in Kamaleontis Antwort kommst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, gut das hab ich jetzt schon mal versucht. Gekommen bin ich auf das hier:
$ [mm] 0,\overline{4711} [/mm] \ = \ 0{,}4711+0{,}00004711+0{,}000000004711+ ... \ = \ [mm] 4711\cdot{}\bruch{1}{10000}+4711\cdot{}\bruch{1}{10000^2}+4711\cdot{}\bruch{1}{10000^3}+... [/mm] $
[mm] $\Rightarrow S=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4711}{10000^k}
[/mm]
Soweit richtig?
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Hallo nochmal,
> Hm, gut das hab ich jetzt schon mal versucht. Gekommen bin
> ich auf das hier:
>
> [mm]0,\overline{4711} \ = \ 0{,}4711+0{,}00004711+0{,}000000004711+ ... \ = \ 4711\cdot{}\bruch{1}{10000}+4711\cdot{}\bruch{1}{10000^2}+4711\cdot{}\bruch{1}{10000^3}+...[/mm]
>
> [mm]$\Rightarrow S=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4711}{10000^k}[/mm]
>
>
> Soweit richtig?
Ja, bestens, nun ausrechnen.
Du kannst die [mm]4711[/mm] noch rausziehen und hast [mm]4711\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10000}\right)^k[/mm]
Und wie du das berechnen kannst, weißt du sicher ...
Beachte, dass die Reihe hier bei [mm]k=\red{1}[/mm] losläuft!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Und wie du das berechnen kannst, weißt du sicher ... "
-> Sei dir da mal nicht so sicher...
Muss ich hier jetzt einen Grenzwert berechnen?
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Hallo nochmal,
> Zitat: "Und wie du das berechnen kannst, weißt du sicher
> ... "
>
> -> Sei dir da mal nicht so sicher...
Doch, das hattet ihr, da bin ich [mm] $1000\%$ [/mm] sicher ... 
Geometrische Reihe mit $|q|<1$: [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}q^k=\ldots$
[/mm]
Wenn du es nicht mehr weißt, schlage es nach ...
>
>
> Muss ich hier jetzt einen Grenzwert berechnen?
Ja, den Reihenwert!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Also anscheinend gilt:
$|q|<1: [mm] \sum\limits_{k=1}^{\infty}q^k= \underbrace{\frac{1}{1-q}-1}_{\text{das muss man aber wissen :-)}}$
[/mm]
Wie ich damit aber nun den Reihenwert berechne weiß ich nicht. Es macht auch anscheinend aber keinen Sinn, wenn ich nun für die rechte Seite meiner Gleichung sage, dass $q [mm] \to \infty$ [/mm] geht. Denn das würde ja bedeuten, dass mein Ergebnis $-1$ wäre, was aber nicht stimmen kann, da ja laut einem Forumsmitglied 9999 im Nenner rauskommen muss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
In meinem Spezialfall is das q=10000. Wenn ich das auf der rechten Seite einsetze komm ich auf [mm] $-\frac{10000}{9999}$. [/mm] Soweit richtig?
Wenn ich nun noch $4711 [mm] \cdot \left(-\frac{10000}{9999}\right) [/mm] = -4711,47114711...$ Stimmt aber doch jetzt nch nicht ganz mit meiner gegebenen Zahl überein oder? Ich müsste quasi jetzt noch mit -10000 teilen, oder...
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Hallo,
> In meinem Spezialfall is das q=10000.
Du arbeitest zu hektisch.
[mm] $q=\frac{1}{10000}$ [/mm] !!
> Wenn ich das auf der
> rechten Seite einsetze komm ich auf [mm]-\frac{10000}{9999}[/mm].
> Soweit richtig?
Nein!
Wäre $q=10000$, so wäre doch [mm] $|q|\ge [/mm] 1$, die Reihe damit divergent!!
>
> Wenn ich nun noch [mm]4711 \cdot \left(-\frac{10000}{9999}\right) = -4711,47114711...[/mm]
> Stimmt aber doch jetzt nch nicht ganz mit meiner gegebenen
> Zahl überin oder?
Tja, warum ist das wohl so??
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 Di 29.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Tja, wenn man natürlich zu dumm ist das q abzulesen, dann gehört einem nicht mehr...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 29.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
Es gilt doch:
[mm]0,\overline{4711} \ = \ 0{,}4711+0{,}00004711+0{,}000000004711+ ... \ = \ 4711*\bruch{1}{10000}+4711*\bruch{1}{10000^2}+4711*\bruch{1}{10000^3}+...[/mm]
Gruß
Loddar
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