Reihenberechnung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Do 05.01.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \summe_{n=0}^{\infty}{n^{2}*2^{-n}} [/mm] |
Hey ihr Lieben :)
Langsam hab ich schon ein schlechtes Gewissen, dass ich euch wegen den Reihen so nerve - leider nicht meine Stärke :(
aber diesmal bin ich schon sehr weit:
nach einigen Umformungen und Indekverschiebungen (die ich nachgeprüft habe) bin ich nun auf:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}{n^{2}*2^{-n}}=...= -i^{2}*2^{-i}+\summe_{n=2}^{i+1}{2^{2-n}*(2n-3)}
[/mm]
[mm] =-i^{2}*2^{-i}+\summe_{n=1}^{i}{2^{1-n}*(2n-1)}
[/mm]
gekommen :)
Nun habe ich mir weiter überlegt, dass ich (wie schon einmal durchgeführt) die letzte Summe wieder auseinander ziehe und komme anschließend (duch Indexverschiebung,..) auf:
[mm] ...=-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)+2*\summe_{n=3}^{i+1}{2^{3-n}}
[/mm]
[mm] =-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)+2*\summe_{n=0}^{i-2}{2^{-n}} [/mm] komme.
hier wende ich anschließend die Formel für geo.-Summen an:
[mm] =-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)+2*\bruch{2^{2-i}*(2^{i-1}-1)}{1-2}
[/mm]
[mm] =-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)-2*(2^{1-i}*(2^{i}-2))
[/mm]
für i [mm] \to \infty [/mm] ist der Wert der Summe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}{n^{2}*2^{-n}}=6
[/mm]
Würde mich sehr freuen wenn ihr mal kontrollieren könntet ob ich richtig liege mit meinem Ergebnis, bzw. ob der Lösungsweg korrekt ist. Vielleicht habt ihr ja auch ein paar Tipps wie man dieses Bsp schneller lösen kann.
Liebe Grüße Meely :)
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Hallo meely,
spontan fiel mir beim Lesen der Aufgabenstellung ein:
1) Probiere: Cauchyprodukt [mm]\left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n} \ \right)\cdot{}\left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n} \ \right)[/mm]
2) Betrachte [mm]f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{-n}[/mm] und leite zweimal ab (für [mm]|x|>1[/mm]), dann Rumrechnen mit Indexverschiebung und Auseinanderziehen und setze am Ende [mm]x=2[/mm]
Zu deinem Ansatz:
> Berechnen Sie [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{n^{2}*2^{-n}}[/mm]
> Hey ihr Lieben :)
>
> Langsam hab ich schon ein schlechtes Gewissen, dass ich
> euch wegen den Reihen so nerve - leider nicht meine Stärke
> :(
>
> aber diesmal bin ich schon sehr weit:
>
> nach einigen Umformungen und Indekverschiebungen (die ich
> nachgeprüft habe) bin ich nun auf:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{n^{2}*2^{-n}}=...= -i^{2}*2^{-i}+\summe_{n=2}^{i+1}{2^{2-n}*(2n-3)}[/mm]
Da stimmt doch was nicht, erst die Summe bis [mm]\infty[/mm], dann nur eine endliche Summe?
Ich vermute, du betrachtest [mm]\lim\limits_{i\to\infty}\sum\limits_{n=0}^{i}n^22^{-n}[/mm] und im weitern "nur" die endliche Summe, hast dann den Summanden für [mm]n=i[/mm] rausgezgen und dann in der bleibenden Summe eine Indexverschiebung gemacht?!
Aber wie kommst du auf [mm](2n-3)[/mm]? Ich habe das nur überschlagen und komme nach der I-Verschiebung auf [mm]-i^22^{-i}+\sum\limits_{n=2}^{i+1}2^{2-n}(n-2)^2[/mm]
Wie kommst du auf den linearen Term in n? Der war doch vorher noch quadratisch ...
Du solltest deine Rechnung etwas ausführlicher zeigen, sonst muss man zum Korrigieren zu viel Denken ... 
>
> [mm]=-i^{2}*2^{-i}+\summe_{n=1}^{i}{2^{1-n}*(2n-1)}[/mm]
>
> gekommen :)
>
> Nun habe ich mir weiter überlegt, dass ich (wie schon
> einmal durchgeführt) die letzte Summe wieder auseinander
> ziehe und komme anschließend (duch Indexverschiebung,..)
> auf:
>
> [mm]...=-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)+2*\summe_{n=3}^{i+1}{2^{3-n}}[/mm]
>
> [mm]=-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)+2*\summe_{n=0}^{i-2}{2^{-n}}[/mm]
> komme.
>
> hier wende ich anschließend die Formel für geo.-Summen
> an:
>
> [mm]=-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)+2*\bruch{2^{2-i}*(2^{i-1}-1)}{1-2}[/mm]
>
> [mm]=-i^{2}*2^{-i}+2-2^{1-i}*(2i-1)-2*(2^{1-i}*(2^{i}-2))[/mm]
>
> für i [mm]\to \infty[/mm] ist der Wert der Summe
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{n^{2}*2^{-n}}=6[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Der Wert stimmt auf jeden Fall, das kannst du dir online bei Wolfram alpha bestätigen lassen
>
>
>
> Würde mich sehr freuen wenn ihr mal kontrollieren könntet
> ob ich richtig liege mit meinem Ergebnis, bzw. ob der
> Lösungsweg korrekt ist. Vielleicht habt ihr ja auch ein
> paar Tipps wie man dieses Bsp schneller lösen kann.
Vllt. mag jemand anderes ja tiefer einsteigen, ich stelle das mal auf teilweise beantwortet...
>
> Liebe Grüße Meely :)
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 05.01.2012 | | Autor: | meely |
> Hallo meely,
>
> spontan fiel mir beim Lesen der Aufgabenstellung ein:
>
> 1) Probiere: Cauchyprodukt [mm]\left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n} \ \right)\cdot{}\left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{-n} \ \right)[/mm]
>
> 2) Betrachte [mm]f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^{-n}[/mm] und
> leite zweimal ab (für [mm]|x|>1[/mm]), dann Rumrechnen mit
> Indexverschiebung und Auseinanderziehen und setze am Ende
> [mm]x=2[/mm]
>
ah auch eine interessante möglichkeit. werde ich probieren :)
>
> Zu deinem Ansatz:
>
>
> >
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{n^{2}*2^{-n}}=...= -i^{2}*2^{-i}+\summe_{n=2}^{i+1}{2^{2-n}*(2n-3)}[/mm]
>
> Da stimmt doch was nicht, erst die Summe bis [mm]\infty[/mm], dann
> nur eine endliche Summe?
oh sorry habe nicht mitgedacht beim vielen latex tippen. natürlich betrachte ich:
[mm] \summe_{n=0}^{i}{n^{2}*2^{-n}}=...= -i^{2}*2^{-i}+\summe_{n=2}^{i+1}{2^{2-n}*(2n-3)}
[/mm]
ist es möglich dass ich hier ein bild anhänge ?
habe das bsp natürlich per hand gerechnet und eingescannt - würde viel tipparbeit ersparen..
Liebe Grüße Meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Do 05.01.2012 | | Autor: | meely |
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ja, mache das mal mit dem Bildchen!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 Do 05.01.2012 | | Autor: | meely |
ich hoffe es ist alles lesbar geschrieben :)
Liebe Grüße und vielen vielen Dank für deine liebe Hilfe :)
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![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]")
Das ist ja eine wüste Sache, aber es sieht sehr gut aus. Ich konnte fast alles gut nachvollziehen!
Einige Kleinigkeiten:
1) In der 1 Zeile hast du dich im letzten Exponenten verschrieben, da gehört statt i ein n hin, hast du aber im Weiteren wieder richtig
2) Bei der Anwendung der geometr. Summenformel komme ich auf etwas anderes. Zeige (mir) den Schritt von der Summe vorher zu der Formel bitte nochmal genau.
3) Beim Grenzübergang [mm]i\to\infty[/mm] bist du nonchalant über ein paar Fälle von [mm]0\cdot{}\infty[/mm] hinweggegangen.
Das solltest du noch begründen.
Aber Hut ab vor soviel Rechenleistung ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Do 05.01.2012 | | Autor: | meely |
> > ...[mm] =-i^{2}\cdot{}2^{-i}+2-2^{1-i}\cdot{}(2i-1)+2\cdot{}\summe_{n=0}^{i-2}{2^{-n}}[/mm]
> >
> > hier habe ich die geo.summenformel:
> > [mm]\summe_{n=0}^{i}{q^{-n}}=\frac{q^{-i}*(q^{i+1}-1)}{q-1}[/mm]
>
> Oberer Laufindex ist i-2 !
das ist mir klar, danke :) ich hab die formel allgemein hin geschrieben (natürlich meinen laufindex geändert beim einsetzen)
> > [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{-i^{2}*2^{-i}}=0[/mm]
>
> Begründung?
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty}{-i^{2}*2^{-i}}=... [/mm] nach 2 mal de l'hopital ... $ [mm] =\frac{-2}{log^{2}(2)\cdot{}\limes_{i\rightarrow\infty}{2^i}}=0 [/mm] $
weil [mm] \frac{-2}{\infty}=0
[/mm]
> > [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{2^{1-i}*(2i-1)}= -\infty[/mm]
>
> Huch? Wieso das?
>
> Was treibt [mm]\frac{2i-1}{2^{i-1}}[/mm] für [mm]i\to\infty[/mm] ? Das geht
> erstmal gegen den unbestimmten Ausdruck
> [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]
>
> Da kannst du mal de l'Hôpital anwenden ...
>
> Ich erhalte einen anderen Grenzwert ...
nach de l'hopital folgt:
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty}{2^{1-i}*(2i-1)}
[/mm]
[mm] =\limes_{i\rightarrow\infty}{\frac{2^{2-i}}{log(2)}}
[/mm]
[mm] =\frac{\limes_{i\rightarrow\infty}{2^{2-i}}}{log(2)}
[/mm]
[mm] =\frac{4}{log(2)*\limes_{i\rightarrow\infty}{2^i}}=0
[/mm]
weil [mm] \frac{4}{\infty}=0
[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{2*2^{2-i}}= -\infty[/mm] <-
> > umgeformt damit einfacher.
>
> Nö!
ach ich werde echt schon müde ^^
also: [mm] \limes_{i\rightarrow\infty}{2*2^{2-i}}=2*\limes_{i\rightarrow\infty}{2^{2-i}}=2*\limes_{i\rightarrow\infty}{\frac{4}{2^{i}}}=0
[/mm]
weil wiederrum [mm] \frac{8}{\infty}=0
[/mm]
>
> >
> > im endeffekt steht dann in der rechnung ...= 2+0 [mm]-\infty[/mm] -
> > [mm](-\infty)+4[/mm] = [mm]6+0+\infty-\infty=6[/mm] ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
>
> Das hatte ich befürchtet !
haha ! somit ist auch das Problem mit den Unendlichkeiten gelöst :D
>
> Gruß zurück!
>
> schachuzipus
>
Liebe Grüße Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 Do 05.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
> > > [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{-i^{2}*2^{-i}}=0[/mm]
> >
> > Begründung?
>
>
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{-i^{2}*2^{-i}}=...[/mm] nach 2 mal
> de l'hopital ... [mm] =\frac{-2}{log^{2}(2)\cdot{}\limes_{i\rightarrow\infty}{2^i}}=0[/mm]
>
> weil [mm]\frac{-2}{\infty}=0[/mm]
Das ist richtig. Etwas unschön ist jedoch, dass die das [mm] $\infty$-Symbol [/mm] bei Deiner Argumentation verwendest. Benutze zum Ableiten des Nenners [mm] $a^x=\exp(x\ln [/mm] a)$ und verwende 2 mal die Regel von L'Hospital:
[mm] $-\lim_{i\to\infty}\frac{i^2}{2^i}=-\lim_{i\to\infty}\frac{2i}{2^i\ln 2}=-\lim_{i\to\infty}\frac{2}{2^i(\ln 2)^2}=-\frac{2}{(\ln 2)^2}\lim_{i\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^i=0$
[/mm]
Der Limes geht nun gegen $0$, da [mm] $\frac{1}{2}<1$ [/mm] ist, d.h. [mm] $\left(\frac{1}{2}\right)^i$ [/mm] ist eine Nullfolge.
> > > [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{2^{1-i}*(2i-1)}= -\infty[/mm]
>
> (...)
>
> nach de l'hopital folgt:
>
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{2^{1-i}*(2i-1)}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{i\rightarrow\infty}{\frac{2^{2-i}}{log(2)}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{\limes_{i\rightarrow\infty}{2^{2-i}}}{log(2)}[/mm]
>
> [mm]=\frac{4}{log(2)*\limes_{i\rightarrow\infty}{2^i}}=0[/mm]
>
> weil [mm]\frac{4}{\infty}=0[/mm]
>
Passt. Hier kannst Du genauso wie zuvor vorgehen. Jedoch reicht es hier die Regel von L'Hospital nur einmal anzuwenden.
[mm] $\lim_{i\to\infty}2^{1-i}(2i-1)=2\lim_{i\to\infty}\frac{2i-1}{2^i}=2\lim_{i\to\infty}\frac{2}{2^i\ln 2}=\frac{4}{\ln 2}\lim_{i\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^i=0$
[/mm]
> > > [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{2*2^{2-i}}= -\infty[/mm] <-
>
> (...)
>
> also:
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty}{2*2^{2-i}}=2*\limes_{i\rightarrow\infty}{2^{2-i}}=2*\limes_{i\rightarrow\infty}{\frac{4}{2^{i}}}=0[/mm]
>
> weil wiederrum [mm]\frac{8}{\infty}=0[/mm]
>
Richtig. Hier benötigst Du die Regel von L'Hospital gar nicht mehr und kannst es direkt zeigen:
[mm] $\lim_{i\to\infty}2\cdot 2^{2-i}=8\lim_{i\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^i=0$
[/mm]
Gruß Denny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:46 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
Danke für die ausführliche Hilfe :)
Liebe Grüße Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 05.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
... wenn Du nun alles richtig gemacht hast erhälst Du
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty}n^2 2^{-n}=6$
[/mm]
Gruß Denny
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