Reihendarstellung einer Fkt. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 15.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum Entwicklungspunkt a:=0 der folgenden Funktion mit Hilfe des obigen Satzes. |
Hallo,
für folgende Funktion soll ich die Aufgabe lösen. Der Satz der in der Aufgabenstellung erwähnt wird, ist die Definition der binomische Reihe sowie einen Satz zur Stammfunktion von Potenzreihen.
[mm] g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})
[/mm]
die Ableitung habe ich ebenfalls berechnet.
[mm] g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}
[/mm]
daraus folgt für die binomische Reihe :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k}
[/mm]
Wie muss ich weiter vorgehen wenn ich die Reihendarstellung von g'(x) habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 So 15.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum
> Entwicklungspunkt a:=0 der folgenden Funktion mit Hilfe des
> obigen Satzes.
>
> Hallo,
>
> für folgende Funktion soll ich die Aufgabe lösen. Der
> Satz der in der Aufgabenstellung erwähnt wird, ist die
> Definition der binomische Reihe sowie einen Satz zur
> Stammfunktion von Potenzreihen.
Welcher Satz ist denn genau gegeben?
> [mm]g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm]
>
> die Ableitung habe ich ebenfalls berechnet.
>
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
Richtig.
> daraus folgt für die binomische Reihe :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k}[/mm]
Das verstehe ich auf den ersten Blick nicht, aber die be-
rechnete Ableitung sollte dir doch etwas sagen. Es gilt:
[mm] \int{g'(x)dx}=\sinh^{-1}(x)+C.
[/mm]
Kommst du nun weiter?
Gruß
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:50 Mo 16.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Taylorreihe samt Konvergenzradius zum
> Entwicklungspunkt a:=0 der folgenden Funktion mit Hilfe des
> obigen Satzes.
>
> Hallo,
>
> für folgende Funktion soll ich die Aufgabe lösen. Der
> Satz der in der Aufgabenstellung erwähnt wird, ist die
> Definition der binomische Reihe sowie einen Satz zur
> Stammfunktion von Potenzreihen.
>
> [mm]g(x)=ln(x+\wurzel{x^{2}+1})[/mm]
>
> die Ableitung habe ich ebenfalls berechnet.
>
> [mm]g'(x)=\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+1}}[/mm]
>
> daraus folgt für die binomische Reihe :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k}[/mm]
>
> Wie muss ich weiter vorgehen wenn ich die Reihendarstellung
> von g'(x) habe?
Es ist
(*) [mm] g'(x)=\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2}\\ k}*x^{2k} [/mm] für |x|<1.
Ihr hattet doch einen Satz, wie die Stammfunktion einer Potenzreihe aussieht. Nimm den und berechne mit (*) g(x)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Mo 16.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Leider stehe ich total auf dem Schlauch.
In einer Übungsaufgabe die wird vor dieser Aufgabe gelöst haben hatten wir die funktion f(x)=arcsin(x) für [mm] x\in(-1,1)
[/mm]
Nachdem wir die Reihendarstellung von f'(x) ermittelt hatten, hat der Übungsleiter folgendes gemacht :
[mm] arcsin(x)-arcsin(0)=\integral_{0}^{x}{(1-t^{2})^{-\bruch{1}{2}} dt}
[/mm]
deshalb dachte ich, dass eher so ein Schritt kommen würde ( den ich übrigens nicht nachvollziehen kann).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Leider stehe ich total auf dem Schlauch.
>
> In einer Übungsaufgabe die wird vor dieser Aufgabe gelöst
> haben hatten wir die funktion f(x)=arcsin(x) für
> [mm]x\in(-1,1)[/mm]
>
> Nachdem wir die Reihendarstellung von f'(x) ermittelt
> hatten, hat der Übungsleiter folgendes gemacht :
>
> [mm]arcsin(x)-arcsin(0)=\integral_{0}^{x}{(1-t^{2})^{-\bruch{1}{2}} dt}[/mm]
>
> deshalb dachte ich, dass eher so ein Schritt kommen würde
> ( den ich übrigens nicht nachvollziehen kann).
Ist f(t):=arcsin(t), so ist [mm] f'(t)=(1-t^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Also: [mm] \integral_{0}^{x}{f'(t) dt}=f(x)-f(0)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Perfekt. Danke. Bin jetzt bei dem Ausdruck
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}
[/mm]
Ich muss jetzt den Konvergenzradius bestimmen.
[mm] a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}
[/mm]
ich weiß, dass sie das für |x|<1 macht. Doch genügt es, wenn ich es genauso hinschreibe?
[mm] a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k} [/mm] konvergiert für |x|<1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Perfekt. Danke. Bin jetzt bei dem Ausdruck
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
>
> Ich muss jetzt den Konvergenzradius bestimmen.
>
> [mm]a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}[/mm]
Nein, das sind nicht die [mm] a_k.
[/mm]
>
> ich weiß, dass sie das für |x|<1 macht.
Wer macht was ?
> Doch genügt es,
> wenn ich es genauso hinschreibe?
Nein.
>
> [mm]a_{k}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}[/mm] konvergiert für |x|<1?
Unfug !!!!
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}[/mm]
Wenn Du diese Potenzreihe in der Form
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_kx^k[/mm]
schreibst, so gilt:
[mm] a_{2k}=0 [/mm] für alle k
und
[mm] a_{2k+1}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}*\bruch{1}{2k+1} [/mm] für alle k
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Ich danke! :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:42 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Konvergiert dann der Ausdruck gegen -1 ?
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> Konvergiert dann der Ausdruck gegen -1 ?
Hallo,
vielleicht könntest Du mal für die, die nicht so helle oder hellsichtig sind, sagen, von welchem Ausdruck Du gerade sprichst.
Geht's um den Konvergenzradius? Der ist gewiß nicht =-1.
Also: was willst Du gerade weshalb wie berechnen?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Di 17.06.2014 | | Autor: | alikho93 |
Sorry. Ich habe für den Ausdruck
$ [mm] a_{2k+1}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\cdot{}\bruch{1}{2k+1} [/mm] $
Die Quotientenregel benutzt und 1 ( und nicht -1, mein Fehler) raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Di 17.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sorry. Ich habe für den Ausdruck
>
> [mm]a_{2k+1}=\vektor{-\bruch{1}{2} \\ k}\cdot{}\bruch{1}{2k+1}[/mm]
>
>
> Die Quotientenregel benutzt und 1 ( und nicht -1, mein
> Fehler) raus.
Wenn Du richtig argumentiert hast, könnte das was werden. Zeig mal Deine Ergüsse.
FRED
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Der Konvergenzradius der Reihe für [mm]g'(x)[/mm] ist 1. Das ist aus dem Zusammenhang mit der binomischen Reihe bekannt (die Substitution von [mm]x[/mm] durch [mm]x^2[/mm] ändert daran nichts, denn [mm]x^2<1[/mm] für [mm]|x|<1[/mm] und [mm]x^2>1[/mm] für [mm]|x|>1[/mm]). Beim Differenzieren einer Reihe ändert sich aber der Konvergenzradius nicht. Was muß daher der Konvergenzradius der Reihe für [mm]g(x)[/mm] sein?
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