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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Fr 19.04.2013 | | Autor: | marmik |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Potenzreihen von
a) [mm] \sqrt{1+x}
[/mm]
b) [mm] \sqrt{1+x^2}
[/mm]
c) [mm] \sqrt[3]{1+x}
[/mm]
d) [mm] \sqrt[3]{1+x^3}
[/mm]
e) [mm] \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} [/mm] |
Hallo,
ich habe mal probiert Aufgabenteil a) zu lösen aber komme dort schon nicht wirklich weit
Ich habe probiert, die k-te Ableitung der Funktion zu bestimmen und dann dir Taylorreihe aufzustellen. Ich hoffe das ist soweit richtig?!
[mm] f^{(k)}(x)=(-1)^{k+1}*\frac{\produkt_{k=1}^{n-1}2k+1}{2^k}*(1+x)^{-\frac{2k-1}{2}}
[/mm]
Jetzt weiß ich allerdings garnicht welchen Entwicklungspunkt ich nehmen soll, wenn ich mit Taylor anfange. Oder bin ich auf dem komplett falschen Weg?
Danke schonmal für eure Hilfe
MfG
marmik
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Hallo,
> Bestimmen Sie die Potenzreihen von
> a) [mm]\sqrt{1+x}[/mm]
> b) [mm]\sqrt{1+x^2}[/mm]
> c) [mm]\sqrt[3]{1+x}[/mm]
> d) [mm]\sqrt[3]{1+x^3}[/mm]
> e) [mm]\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}[/mm]
> Hallo,
> ich habe mal probiert Aufgabenteil a) zu lösen aber komme
> dort schon nicht wirklich weit
> Ich habe probiert, die k-te Ableitung der Funktion zu
> bestimmen und dann dir Taylorreihe aufzustellen. Ich hoffe
> das ist soweit richtig?!
>
> [mm]f^{(k)}(x)=(-1)^{k+1}*\frac{\produkt_{k=1}^{n-1}2k+1}{2^k}*(1+x)^{-\frac{2k-1}{2}}[/mm]
Das sieht eigentlich gut aus. Was mir allerdings gerade nicht einleuchtet ist deine Vorzeichenwahl vor der 1 im Zähler des Faktors in deinem Produkt. Das würde so wie es dasteht (mit dem Plus vor der 1) mit 3/2 beginnen, was ja aber nicht sein kann.
> Jetzt weiß ich allerdings garnicht welchen
> Entwicklungspunkt ich nehmen soll, wenn ich mit Taylor
> anfange. Oder bin ich auf dem komplett falschen Weg?
Der Weg ist schon richtig, was spricht gegen x=0?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Fr 19.04.2013 | | Autor: | marmik |
Gegen die Null spricht eigentlich nichts.
Ich habe dann mal das Vorzeichen in meinem Produkt geändert und komme dann auf folgende Reihe:
Eigentlich nichts.
Also wenn ich dann die Reihe aufstelle sieht das so bei mir aus:
[mm] \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}*\produkt_{k=0}^{n-1}(2k-1) *(1+x)^{-\frac{2k-1}{2}}}{2^k*k!}*x^k
[/mm]
kann ich das dann schon so stehen lassen?
Gruß
marmik
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Hallo,
> Gegen die Null spricht eigentlich nichts.
> Ich habe dann mal das Vorzeichen in meinem Produkt
> geändert und komme dann auf folgende Reihe:
> Eigentlich nichts.
> Also wenn ich dann die Reihe aufstelle sieht das so bei
> mir aus:
> [mm]\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}*\produkt_{k=0}^{n-1}(2k-1) *(1+x)^{-\frac{2k-1}{2}}}{2^k*k!}*x^k[/mm]
>
> kann ich das dann schon so stehen lassen?
Nein:
- Für das Summen- und das Produktzeichen müssen unterschiedliche Indizes verwedet werden.
- Der Faktor [mm] (1+x)^{-\bruch{2k-1}{2}} [/mm] hat im Vorfaktor der Potenz nichts mehr zu suchen. Die Werte der Ableitungen wechseln hier zwischen 1 und -1, aber das hast du doch in deiner allgemeinen Darstellung der k. Ableitung schon drin!
Überprüfung auf ![[]](/images/popup.gif) wolframalpha legt auch noch nahe, dass man das Produkt durch einen Binomialkoeffizienten ausdrücken und damit vereinfachen kann, aber da steige ich grade auch nicht durch, wie man dahin kommt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Fr 19.04.2013 | | Autor: | marmik |
Die Glieder der Taylorreihe sehen bei mir genau so aus wie in wolframalpha, ich habe halt nur keine Ahnung, wie ich das in eine Reihe verpacken kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Fr 19.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Hattet Ihr den verallgemeinerten binomischen Satz ? Wenn ja, dann geht alles ganz einfach:
[mm] (1+x)^{\alpha} =\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}x^{k}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Fr 19.04.2013 | | Autor: | marmik |
also sieht das dann einfach so aus:
[mm] \sqrt{1+x}=\sum\limits_{k=0}^\infty \dbinom{\frac{1}{2}}{k}*x^k [/mm] ?
Gruß
marmik
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Hallo,
> also sieht das dann einfach so aus:
> [mm]\sqrt{1+x}=\sum\limits_{k=0}^\infty \dbinom{\frac{1}{2}}{k}*x^k[/mm]
> ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 19.04.2013 | | Autor: | marmik |
Kann ich dann bei der nächsten Funktion: [mm] f(x)=\sqrt{1+x^2} [/mm] auch den trick anwenden?
Kann mir aber irgendwie noch nicht genau erklären wie das dann aussehen soll. Vielleicht:
[mm] \sum\limits_{k=0}^\infty \dbinom{\frac{1}{2}}{k}*x^{2k}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Fr 19.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, richtig.
Gruss leduart
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