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Hallo,
ich soll eine Potenzreihenentwicklung der Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^2}{(1+x)^3} [/mm] um x0=0 angeben.
Als Tipp wurde mir gegeben ich sollo die Funktion [mm] h(x)=\bruch{1}{1+x} [/mm] und Ihre Potenzreihe hinreichend oft ableiten.
Ich habe jetzt mal das mit Taylor gemacht die Funktion f(x) 4 mal abgeleitet und in Taylor eingesetzt.
Alternativ würde ich es gern da es mir so danach ausschaut mit der Geo Reihe probieren. Komm aber mit dem Nenner nicht so ganz klar. Und wie kann ich den Tip nutzen.
Danke um hilfe
Habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo tunetemptation.
> Hallo,
> ich soll eine Potenzreihenentwicklung der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{x^2}{(1+x)^3}[/mm] um x0=0 angeben.
> Als Tipp wurde mir gegeben ich sollo die Funktion
> [mm]h(x)=\bruch{1}{1+x}[/mm] und Ihre Potenzreihe hinreichend oft
> ableiten.
>
> Ich habe jetzt mal das mit Taylor gemacht die Funktion f(x)
> 4 mal abgeleitet und in Taylor eingesetzt.
>
> Alternativ würde ich es gern da es mir so danach ausschaut
> mit der Geo Reihe probieren. Komm aber mit dem Nenner nicht
> so ganz klar. Und wie kann ich den Tip nutzen.
>
Nun, schreibe
[mm]h\left(x\right)=\bruch{1}{1+x}=\bruch{1}{1-\left(-x\right)}[/mm]
Das ergibt eine Potenzreihe, die für [mm]\vmat{x} < 1[/mm] konvergiert.
Die entstehende Potenzeihe darfst Du innerhalb
ihres Konvergenzintervallse gliedweise differenzieren.
> Danke um hilfe
>
> Habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Danke schonmal für die Antwort,
Die Potenzreihe die sich ergibt :
\summe_{k=0ß^{\infty} (-1)^k * x^k
1.Ableitung 0,5*k*2^k
2.Ableitung 0
Mh, was hat das mit meiner Funktion f(x) zu tun und was hat mir s.o. gebracht?
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Okay habe ich gemacht.
Ich erhalte für die 1. Ableitung
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} 0-1+2x-3x^2+4x^3-5x^4...
[/mm]
und für die 1. Ableitung
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} 0+0+2-6x+12x^2-20x^3...
[/mm]
Ich erkenne aber leider immernoch nicht was das mit f(x) zu tun hat
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Und warum ich h(x) ableiten soll was ja [mm] \bruch{-1}{(x+1)^2}
[/mm]
wäre
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Also 0,5* [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k*x^{2+k} [/mm] dxdx ??
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> Also 0,5* [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k*x^{2+k}[/mm] dxdx ?? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
(was soll das bedeuten ?)
Durch zweimaliges Ableiten der Gleichung
$\ h(x)\ =\ [mm] \bruch{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4\,.....$
[/mm]
erhält man
$\ h''(x)\ =\ [mm] \bruch{2}{(1+x)^3}\ [/mm] =\ [mm] 2\,x^0-6\,x^1+12\,x^2-20\,x^3+30\,x^4\,.....$
[/mm]
und es wird klar, dass $\ f(x)\ =\ [mm] \bruch{x^2}{2}*h''(x)$
[/mm]
Also muss man, um die Reihendarstellung von
f zu bekommen, in der letzten notierten Reihe
nur noch alle Exponenten um 2 erhöhen und
alle Faktoren halbieren.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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Danke schonmal für die Antwort,
Die Potenzreihe die sich ergibt :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k [/mm] * [mm] x^k
[/mm]
1.Ableitung [mm] 0,5*k*2^k
[/mm]
2.Ableitung 0
Mh, was hat das mit meiner Funktion f(x) zu tun und was hat mir s.o. gebracht?
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Hallo tunetemptation,
> Danke schonmal für die Antwort,
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> Die Potenzreihe die sich ergibt :
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k[/mm] * [mm]x^k[/mm]
>
> 1.Ableitung [mm]0,5*k*2^k[/mm]
> 2.Ableitung 0
Das stimmt nicht.
>
> Mh, was hat das mit meiner Funktion f(x) zu tun und was hat
> mir s.o. gebracht?
Mit gliedweise meine ich:
[mm]\bruch{d}{dx}\left( \ \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k * x^k \ \right)=\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} * \bruch{d}{dx}\left( \ x^k \ \right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Aha, also
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} 0-1+2x-3x^2+4x^3...
[/mm]
Und dann?
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Hallo tunetempation,
> Aha, also
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} 0-1+2x-3x^2+4x^3...[/mm]
> Und dann?
Dies ist jetzt die Potenzreihe von [mm]\bruch{d}{dx}\left( \ \bruch{1}{1+x} \ \right)=\bruch{-1}{\left(1+x\right)^{2}}[/mm]
Es wird aber die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{\left(1+x\right)^{3}}[/mm] benötigt.
Demnach mußt Du die obige Potenzreihe nochmal differenzieren.
Gruß
MathePower
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Ah,
leuchtet langsam ein.
Dann wäre meine gesuchte Potenzreihe
[mm] 2*\summe_{k=0}^{\infty}(((-1)^k*x^k)dx)dx [/mm] ?!
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Hallo tunetemptation,
> Ah,
> leuchtet langsam ein.
> Dann wäre meine gesuchte Potenzreihe
>
> [mm]2*\summe_{k=0}^{\infty}(((-1)^k*x^k)dx)dx[/mm] ?!
Leider nein.
Die Potenzreihe von [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm] mußt Du zweimal differenzieren:
[mm]\bruch{d^{2}}{dx^{2}}\left( \ \bruch{1}{1+x} \ \right)=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch {d^{2}}{dx^{2}}\left( \ x^k \ \right)[/mm]
Gruss
MathePower
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für [mm] \bruch{1}{1+x} \bruch{d^2}{dx^2} [/mm] also [mm] \bruch{2}{(1+x)^3} [/mm] unterscheidet sich ja noch von f(x) um den Faktor [mm] \bruch{x^2}{2}
[/mm]
Muss ich den nicht irgendwo in die Reihe einbauen ?
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Hallo tunetemptation,
> für [mm]\bruch{1}{1+x} \bruch{d^2}{dx^2}[/mm] also
> [mm]\bruch{2}{(1+x)^3}[/mm] unterscheidet sich ja noch von f(x) um
> den Faktor [mm]\bruch{x^2}{2}[/mm]
>
> Muss ich den nicht irgendwo in die Reihe einbauen ?
Die Reihe muß noch mit dem Faktor [mm]\bruch{x^{2}}{2}[/mm] multipliziert werden.
Gruß
MathePower
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Das [mm] x^2 [/mm] muss ja aber in die Reihe da es ja auch von [mm] d^2/dx^2 [/mm] "betroffen" ist.
Also [mm] \bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k*x^{k+2} \bruch{d^2}{dx^2}
[/mm]
Ja?
Vielen vielen Dank hat mir sehr geholfen falls s.o. stimmt weil dann hab ichs kapiert
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Hallo tunetempation,
> Das [mm]x^2[/mm] muss ja aber in die Reihe da es ja auch von
> [mm]d^2/dx^2[/mm] "betroffen" ist.
Nein.
> Also [mm]\bruch{1}{2} \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k*x^{k+2} \bruch{d^2}{dx^2}[/mm]
>
> Ja?
Die Reihe sieht dann wie folgt aus:
[mm]\bruch{1}{2}\summe_{k=0}^{\infty}x^{2}*\bruch{d^{2}}{dx^{2}}\left( \ x^{k} \ \right)[/mm]
> Vielen vielen Dank hat mir sehr geholfen falls s.o. stimmt
> weil dann hab ichs kapiert
Gruß
MathePower
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Ok danke,
wenn ich das jetzt auf mein Thema "stetig ergänzen" übertrage mit der Funktion f*
erhalte ich [mm] \bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{1-(\bruch{-1}{x^2})}
[/mm]
Also die Reihe : [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k [/mm] * [mm] (\bruch{1}{x^2})^k*\bruch{1}{x^2}.
[/mm]
Ist das dann meine gesuchte Reihe oder war der weg mit der cos(x) richtig (er )?
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Hallo tunetemptation,
> Ok danke,
> wenn ich das jetzt auf mein Thema "stetig ergänzen"
> übertrage mit der Funktion f*
> erhalte ich [mm]\bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{1-(\bruch{-1}{x^2})}[/mm]
Woher kommt plötzlich diese Funktion?
>
> Also die Reihe : [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-1)^k[/mm] *
> [mm](\bruch{1}{x^2})^k*\bruch{1}{x^2}.[/mm]
> Ist das dann meine gesuchte Reihe oder war der weg mit der
> cos(x) richtig (er )?
Ich glaube, daß das obige in einen anderen Threasd gehört.
Gruß
MathePower
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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