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Guten Morgen 
Ich verzweifle schon seit Tagen an dieser Aufgabe:
Es sei [mm] \alpha, \beta \in \IR [/mm] und [mm] \gamma \ge [/mm] 0
Untersuchen sie die Reihe auf Konvergenz
[mm] \summe_{}^{n>2014}\frac{1}{n^{\gamma}*(log(n))^{\alpha}*(log(log(n))^{\beta}}
[/mm]
Ich habe versucht mich mit der Konvergenz der Reihe zu beschäftigen. Komme aber mit den versch. Konvergenzkriterien nicht weiter. Hier hilft mir weder die harmonische noch die geometrische Reihe. Und auch mit dem Einschließungssatz komme ich nicht weiter, da ich keine geeigneten Minoranten oder Majoranten finde. Ich hatte auch schon die Idee den Grenzwert =0 zu beweisen, vorausgesetzt der Nenner ist immer größer als der Zähler. Aber da da ln(n) auch im negativen liegen kann, kann ich das ja nicht voraussetzen.
Hat jemand von euch eine Idee?
LG
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> Guten Morgen
> Ich verzweifle schon seit Tagen an dieser Reihe:
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> [mm]\summe_{}^{n>2014}\frac{1}{n^{\gamma}*(log(n))^{\alpha}*(log(log(n))^{\beta}}[/mm]
>
> Ich habe versucht mich mit der Konvergenz der Reihe zu
> beschäftigen. Komme aber mit den versch.
> Konvergenzkriterien nicht weiter. Hier hilft mir weder die
> harmonische noch die geometrische Reihe. Und auch mit dem
> Einschließungssatz komme ich nicht weiter, da ich keine
> geeigneten Minoranten oder Majoranten finde. Ich hatte auch
> schon die Idee den Grenzwert =0 zu beweisen, vorausgesetzt
> der Nenner ist immer größer als der Zähler. Aber da da
> ln(n) auch im negativen liegen kann, kann ich das ja nicht
> voraussetzen. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Guten Tag Anna
Beachte, dass nur über die n (mit [mm] n\in \IN) [/mm] mit n>2014
summiert werden soll. Für solche n ist der Logarithmus
bestimmt positiv, und vielleicht ist auch noch nützlich
zu beachten, dass dann sogar ln(ln(n)) größer als 2 ist !
Vermutlich kommt es aber bei der ganzen Aufgabe
noch auf die Werte der (konstant vorgegebenen) Exponenten
[mm] \alpha, \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] an !
Zur Schreibweise der Summe: ich denke, dass man das "n>2014"
sinnvollerweise nicht über dem Summenzeichen, sondern
darunter schreiben sollte oder noch besser:
[mm] $\summe_{n=2015}^{\infty}$ [/mm] ......
LG , Al-Chwarizmi
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Hey
Stimmt, du hast Recht. Mit [mm] \gamma \ge [/mm] 0 und [mm] \alpha \beta \in \IR [/mm] kann der Nenner leider aber immer noch negativ sein. Der Nenner ist in diesem Fall nur größer als der Zähler, wenn [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta \ge [/mm] 0...
das ist aber ja nicht unbedingt gegeben. Daher hänge ich leider nun wieder an der selben Stelle
LG
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> Hey
> Stimmt, du hast Recht. Mit [mm]\gamma \ge[/mm] 0 und [mm]\alpha \beta \in \IR[/mm]
> kann der Nenner leider aber immer noch negativ sein. Der
> Nenner ist in diesem Fall nur größer als der Zähler,
> wenn [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta \ge[/mm] 0...
> das ist aber ja nicht unbedingt gegeben. Daher hänge ich
> leider nun wieder an der selben Stelle
Dann setze doch einfach selber fest, welche Voraussetzungen
du gerne haben möchtest, damit die Reihe konvergiert.
Dann kannst du wenigstens so etwas berichten:
"Falls die und die Parameter größer als 0 (oder meinetwegen
auch etwa größer als 1) sind, dann ist die Reihe konvergent."
Ob dann diese bedingungen vielleicht noch abgeschwächt
werden können, wäre dann ein nächster Schritt.
LG , Al-Chw.
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Hey
heißt das soviel, wie das es gar kein allgemeines Konvergenzschema für die Reihe gibt?
also so:
Fall 1:
a [mm] \ge [/mm] ;0 [mm] b\ge [/mm] 0
in diesem Fall konvergiert die Reihe gegen den Grenzwert =0
Fall2:
[mm] a\ge [/mm] 0 ; b [mm] \le [/mm] 0
die Reihe divergiert
Fall 3:
a [mm] \le [/mm] 0 ; [mm] b\le [/mm] 0
die Reihe divergiert
Fall 4:
a und b [mm] \le [/mm] 0
die Reihe konvergiert gegen den Grenzwert =0
stimmt das?
LG
Anna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Di 01.04.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Guten Morgen
gibt es denn keinen der mir an dieser Stelle weiterhelfen kann?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Di 01.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
so viel lässt sich sofort sagen: deine obigen Überlegungen müssen schon deswegen falsch sein, da im Falle der Konvergenz die Reihe sicherlich nicht gegen Null konvergiert. Überlege dir, weshalb das nicht sein kann!
Ansonsten muss ich erhlich sagen, gehört diese Frage zu denen, wo ich mich nicht so recht motivieren kann, darüber nachzudenken. Der Grund dafür ist der, dass du die Aufgabe nicht vernünftig vorgestellt hast. Du beschäftigst dich damit, ok. Aber das ganze hat doch vermutlich einen Originalwortlaut und einen Kontext, und beides gehört mit angegeben. Ich könnte mir schon auch vorstellen, dass ich nicht der einzige bin, dem es so geht...
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Di 01.04.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Hey
da es eine Reihe und keine Folge ist, somit werden immer weitere kleine Werte zusammen addiert.
Besteht die Möglichkeit, dass diese Frage gelöscht wird und ich diese erneut stelle?
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Di 01.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hey
> da es eine Reihe und keine Folge ist, somit werden immer
> weitere kleine Werte zusammen addiert.
Insbesondere sind diese Werte sämtlich positiv, wie ja schon angemerkt wurde.
> Besteht die Möglichkeit, dass diese Frage gelöscht wird
> und ich diese erneut stelle?
Nein, das ist hier nicht vorgesehen. Du könntest doch einfach zu deiner Ausgangsfrage per Mitteilung noch die notwendigen Ergänzungen bereitstellen, also insbesondere
- den Originaltext
- ggf. Angaben über die Exponenten [mm] \alpha, \beta, \gamma
[/mm]
- ggf. den Kontext (ZUsammenhang), in welchem dieses Problem auftritt.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Di 01.04.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Hey
habe ich gemacht, ich hoffe es ist nun so vollständig
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:30 Di 01.04.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Hey
>
> habe ich gemacht,
Ähm, wo denn genau???
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Di 01.04.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Hey
uuuuuuuups :-P
ich habe den Ausgangspost editiert
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Di 01.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
fang mal mit den Teilen an, die garantiert divergieren, a,b<0 [mm] \gamma \le1
[/mm]
dann vergleiche mit der harmonischen Reihe,
dann hast du schon mal, dass die Reihe nicht für alle Werte lonvergiert.
Danach musst du log n geschickt abschatzen, nach oben und unten.,mit n>2014
der ln liegt immer unter seiner Tangente, und über Sehnen.
Gruß leduart
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:44 Mi 02.04.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Hey
> fang mal mit den Teilen an, die garantiert divergieren,
> a,b<0 [mm]\gamma \le1[/mm]
Wieso divergiert das direkt? weil der Nenner immer positiv ist also immer kleiner Beträge addiert werden, ähnlich wie bei der harmonischen Reihe?
> dann vergleiche mit der harmonischen
> Reihe,
Aber wie soll das gehen? ich habe doch 3 verschiedene Faktoren im Nenner, und da der Ln bis zu einem bestimmten Punkt <1 ist, ist es auch schwer abzuschätzen, wann er zu einer Minorante und wann er zu einer Majorante wird finde ich :-(
LG
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Hallo Anna!
> und da der Ln bis zu einem bestimmten Punkt <1 ist,
Für $x \ > \ e \ [mm] \approx [/mm] \ 2{,}718$ gilt [mm] $\ln(x) [/mm] \ > \ 1$ .
Und mit der Vorgabe $n \ [mm] \ge [/mm] \ 2015$ gilt auch: [mm] $\ln(n) [/mm] \ > \ 7 \ > 1$ bzw. [mm] $\ln\left[\ln(n)\right] [/mm] \ > \ 2 \ > 1$ .
Damit ist doch dieses "Problem" bei dieser Aufgabe gar nicht existent.
Gruß vom
Roadrunner
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Hey
> > und da der Ln bis zu einem bestimmten Punkt <1 ist,
>
> Für [mm]x \ > \ e \ \approx \ 2{,}718[/mm] gilt [mm]\ln(x) \ > \ 1[/mm] .
>
>
> Und mit der Vorgabe [mm]n \ \ge \ 2015[/mm] gilt auch: [mm]\ln(n) \ > \ 7 \ > 1[/mm]
> bzw. [mm]\ln\left[\ln(n)\right] \ > \ 2 \ > 1[/mm] .
aber wie kommst du darauf, dass im Falle n>2014 ln(n)>7 ist?
Denn 2014:e=740,90 und somit müsste es ja ln(n)>740,90 heißen oder nicht?
>
> Damit ist doch dieses "Problem" bei dieser Aufgabe gar
> nicht existent.
Wenn daher wirklich ln(n)>1 und ln(ln(n))>1 gilt , kann man den Bruch ja abschätzen zu:
[mm] \sum_{n>2014}\frac{1}{n^{\delta}} [/mm] und dann würde die Reihe für [mm] \delta [/mm] >1 konvergieren und für [mm] \delta<1 [/mm] divergieren..aber ist es dann egal welchen Wert [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] annehmen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Mi 02.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Hey
>
> > > und da der Ln bis zu einem bestimmten Punkt <1 ist,
> >
> > Für [mm]x \ > \ e \ \approx \ 2{,}718[/mm] gilt [mm]\ln(x) \ > \ 1[/mm] .
> >
> >
> > Und mit der Vorgabe [mm]n \ \ge \ 2015[/mm] gilt auch: [mm]\ln(n) \ > \ 7 \ > 1[/mm]
> > bzw. [mm]\ln\left[\ln(n)\right] \ > \ 2 \ > 1[/mm] .
>
> aber wie kommst du darauf, dass im Falle n>2014 ln(n)>7
> ist?
> Denn 2014:e=740,90 und somit müsste es ja ln(n)>740,90
> heißen oder nicht?
bevor du " oder nicht" frägst , warum nicht mal ln(2014) in den TR eintippen?
ln(e*740)=lne+ln740!
> > Damit ist doch dieses "Problem" bei dieser Aufgabe gar
> > nicht existent.
> Wenn daher wirklich ln(n)>1 und ln(ln(n))>1 gilt , kann
> man den Bruch ja abschätzen zu:
du sagst Bruch abschätzen und schreibst ne Summe hin?
mach das genauer, gib deine Abschätzung der Summanden an!
bzw gib begründet eine majorante der Reihe an.
dann überleg was mit a,b<0 ist, du kannst dann [mm] zb,(1/(ln(n))^a=(ln(n))^{|a|}
[/mm]
schreiben.
> [mm]\sum_{n>2014}\frac{1}{n^{\delta}}[/mm] und dann würde die
> Reihe für [mm]\delta[/mm] >1 konvergieren und für [mm]\delta<1[/mm]
> divergieren..aber ist es dann egal welchen Wert [mm]\alpha[/mm] und
> [mm]\beta[/mm] annehmen?
Du meinst wahrscheinlich das richtige, aber schreibst es so undeutlich oder konfus, dass es immer mit 0 bewertet würde.
Gruss leduart
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Hey
also ich meine:
ich kann dann folgendermaßen abschätzen:
[mm] \sum_{n>2015}\frac{1}{n^{\delta}*log(n)^{\alpha}*log(log(n))^{\beta}} \le \sum_{n>2015}\frac{1}{n^{\delta}}
[/mm]
und diese Majorante konvergiert ja für [mm] \delta \le [/mm] 1 und divergiert für [mm] \delta [/mm] >1
dabei spielen [mm] \alpha [/mm] & [mm] \beta [/mm] also keine Rolle mehr.
Kann man es nun nachvollziehen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Sa 05.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig wenn du die > und < Zeichen noch verttauschst.
und für [mm] \alpha, \beta>0 [/mm] stimmt deine Majorante.
Gruß leduart
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Hey
bei a,b<0 und [mm] \delta \le [/mm] 1 divergiert jedoch die Reihe (wie du es in einem Beitrag netterweise dargestellt hast )
und wie sie sich für [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta \ge [/mm] 0 verhält weiß ich ja jetzt auch.
Allerdings fehlen ja jetzt noch einige Fälle.
z.B. 1. [mm] \alpha [/mm] & beta =0
2. a,b<0 und [mm] \delta [/mm] > 1
3. a [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] \beta \le [/mm] 0
...
wie kann ich damit umgehen, denn irrelevant sind diese Fälle bestimmt nicht , oder?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 So 06.04.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Anna,
> Hey
> bei a,b<0 und [mm]\delta \le[/mm] 1 divergiert jedoch die Reihe
> (wie du es in einem Beitrag netterweise dargestellt hast
> )
> und wie sie sich für [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta \ge[/mm] 0 verhält
> weiß ich ja jetzt auch.
> Allerdings fehlen ja jetzt noch einige Fälle.
> z.B. 1. [mm]\alpha[/mm] & beta =0
Wieso setzt du das nicht einfach links ein?
[mm] \sum_{n>2015}\frac{1}{n^{\delta}\cdot{}log(n)^{0}\cdot{}log(log(n))^0}=\sum_{n>2015}\frac{1}{n^{\delta}*1*1}=\sum_{n>2015}\frac{1}{n^{\delta}}.
[/mm]
Die Reihe konvergiert hier somit auch nur für [mm] $\delta>1$.
[/mm]
> 2. a,b<0 und [mm]\delta[/mm] > 1
Mit $a,b<0$ folgt nach obiger Aussage direkt Divergenz. Das
[mm] \delta [/mm] spielt am Anfang deiner Argumentation keine Rolle.
Das [mm] \delta [/mm] ist entscheidend am Ende deiner Argumentation.
> 3. a [mm]\ge[/mm] 0 und [mm]\beta \le[/mm] 0
> ...
Wieso kleiner bzw. größer GLEICH? Das hast du bereits
oben abgehackt. Den Fall $a,b<0$ hast du übrigens oben auch
schon behandelt.
Lies bitte die Antworten genauer durch.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:42 So 06.04.2014 | | Autor: | AnnaHundi |
Hey
ich habe mir die Antworten jetzt schon ein paar mal durchgelesen
Die Umformung mit dem Logarithmus bis hin zur harmonischen Reihe verstehe ich. Allerdings verstehe ich nicht, wie man sehen bzw. beweisen kann, dass die Reihe für alle a,b [mm] \ge [/mm] 0 divergiert und so auch z.B. für a <0 und b [mm] \ge [/mm] 0 divergiert
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 Mo 07.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der thread ist so lang geworden, dass man zu viel lesen muss um zu sehen was du inzwischen kannst. Wenn du eine vernünftige Antwort willst, schreib mal geordnet auf, für welche [mm] a,b,\gamma [/mm] du inzwischen Konvergenz bzw. Divergenz zeigen kannst, und natürlich wie du das zeigst.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Fr 04.04.2014 | | Autor: | mister_xyz |
$ [mm] \summe_{}^{n>2014}\frac{1}{n^{\gamma}\cdot{}(log(n))^{\alpha}\cdot{}(log(log(n))^{\beta}} [/mm] $
....ist nur ein Verwirrungsspiel: Entscheidend ist:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\gamma}
[/mm]
weil [mm] \Gamma [/mm] in der Potenz > 1 konvergiert das alles
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