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| Aufgabe | Für welche Zahlen [mm] x\inIR [/mm] konvergiert die folgende Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k+1}(x-3)^{k+1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe ein paar "kleinere" Vertändnisfragen was Konvergente Folgen angeht und ich hoffe, dass jemand so nett ist, und mir ein wenig weiter hilft.
Ich schreibe einfach mal meine Gedanken auf und ich bitte mich zu korrigieren, falls ich falsch liege:
Da es sich um eine Potenzreihe handelt, ist doch im Prinzip nach dem Konvergenzradius gefragt, oder?
Also kann man nach der Formel vorgehen:
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{a_{n}_{+1}}
[/mm]
Zunächst aber vereinfache ich die Summe, indem ich sage:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k+1}(x-3)^{k+1}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k+1}(x-3)^{k}(x-3)^1
[/mm]
und da in [mm] (x-3)^1 [/mm] kein k mehr drine ist, kann man es vor die Summe schreiben, also:
[mm] (x-3)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2}{k+1}(x-3)^{k}
[/mm]
Nun Interessiert mich doch erstmal nur das [mm] \bruch{2}{k+1}, [/mm] da das (x-3) wenn k gegen [mm] \infty [/mm] läuft vernachlässigbar ist, oder?
Also:
[mm] R=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{a_{n}_{+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2 (k+2)}{2(k+1)}=1
[/mm]
Der "Nullpunkt" des Konvergenzradius ist [mm] x_{0}=3. [/mm] Also ist das Konv. Intervall doch [mm] (x_{0}-R,x_{0}+R) [/mm] also (3-1,3+1) = (2,4)
Nun aber die Frage, reicht das? Oder muss ich bei der Frage nach "für welche x konvergiert die Reiche" auch noch die Randpunkte beachteten?
Habe noch eine weiter Frage zu der selben Fragestellung aber andere Aufgabe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}e^{x+kx}
[/mm]
Das ist doch KEINE Potenzreihe mehr oder? Also kann ich nicht auf dem "normalen" Weg den Konv.Radius raus bekommen, oder?
Wenn man das umstellt sieht das ja so aus:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}e^{x}e^{kx}, [/mm] oder auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}e^{x(1+k)} [/mm] oder [mm] \summe_{k=1}^{\infty}e^{x}(e^{x})^k [/mm] aber wie weiter?!
Hat irgendjemand ein gutes "Stichwort" für mich?
1000Dank für die Hilfe, weiß einfach nicht mehr weiter....
Viele Grüße.
TINA
Ich habe die Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Kann mir denn niemand helfen?
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Hallo Superhaufen!
Zunächst mal das wichtigste: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Da es sich um eine Potenzreihe handelt, ist doch im Prinzip
> nach dem Konvergenzradius gefragt, oder?
> Also kann man nach der Formel vorgehen:
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{a_{n}_{+1}}[/mm]
> Zunächst aber vereinfache ich die Summe, indem ich sage:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k+1}(x-3)^{k+1}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{k+1}(x-3)^{k}(x-3)^1[/mm]
> und da in [mm](x-3)^1[/mm] kein k mehr drine ist, kann man es vor
> die Summe schreiben, also:
> [mm](x-3)\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{2}{k+1}(x-3)^{k}[/mm]
So kannst du es machen, oder auch [mm] $2*\summe_{i=0}^\infty \bruch [/mm] 1k [mm] (x-3)^k$ [/mm] betrachten. Ist ghupft wie gsprungen. 
> Nun Interessiert mich doch erstmal nur das [mm]\bruch{2}{k+1},[/mm]
> da das (x-3) wenn k gegen [mm]\infty[/mm] läuft vernachlässigbar
> ist, oder?
Jein. Für die Berechnung des Konvergenzradiuses betrachtest du in der Tat nur [mm] $\bruch [/mm] 2{k+1}$. Das liegt aber daran, weil $R$ so gewählt werden soll, dass [mm] $\limsup_{n\to\infty}\bruch{2(k+1)(x-3)^{k+1}}{2(k+2)(x-3)^{k}}<1$ [/mm] für alle $|x-3|<R$ gilt. Wenn [mm] $k\to\infty$ [/mm] kann [mm] $(x-3)^k\to\infty$ [/mm] gelten, ist also keineswegs vernachlässigbar...
> Also:
>
> [mm]R=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{a_{n}_{+1}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2 (k+2)}{2(k+1)}=1[/mm]
>
> Der "Nullpunkt" des Konvergenzradius ist [mm]x_{0}=3.[/mm] Also ist
> das Konv. Intervall doch [mm](x_{0}-R,x_{0}+R)[/mm] also (3-1,3+1) =
> (2,4)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") So ist es!
> Nun aber die Frage, reicht das? Oder muss ich bei der Frage
> nach "für welche x konvergiert die Reiche" auch noch die
> Randpunkte beachteten?
Wenn die Frage lautet "Für welche $x$ konvergiert die Reihe?", dann solltest du auf jeden Fall die Randpunkte betrachten. Setz' doch einfach mal $2$ und $4$ ein und betrachte dann die Reihe!
> Habe noch eine weiter Frage zu der selben Fragestellung
> aber andere Aufgabe:
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Bitte beachte in Zukunft unsere Forenregeln und stelle keine zwei voneinander unabhängigen Fragen im selben Thread.
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}e^{x+kx}[/mm]
> Das ist doch KEINE Potenzreihe mehr oder? Also kann ich
> nicht auf dem "normalen" Weg den Konv.Radius raus bekommen,
> oder?
> Wenn man das umstellt sieht das ja so aus:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}e^{x}e^{kx},[/mm] oder auch
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}e^{x(1+k)}[/mm] oder
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}e^{x}(e^{x})^k[/mm] aber wie weiter?!
> Hat irgendjemand ein gutes "Stichwort" für mich?
Probiers' doch mal mit der Substitution [mm] $y=e^x$. [/mm] Dann erhältst du die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}y^{k+1}=\summe_{k=0}^\infty y^k$... [/mm] Kommst du nun auf die Lösung?
Gruß, banachella
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Viiiiieelen Dank, Banachella!
Du hast mir sehr weiter geholfen!
Die Lösung der 2.Aufgabe ist nun eigentlich auch klar! :)
[mm] \forall{x>0 \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}e^{x+kx} = divergent}
[/mm]
[mm] \forall{x<0 \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}e^{x+kx} = konvergent}
[/mm]
Viel Grüße! :)
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