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Hallo,
ich soll bei einer Aufgabe feststellen ob die Reihe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{2}}[/mm]
konvergiert oder divergiert. Ich kenne nur das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium, aber beide versagen.
Zufällig habe ich in einer Tabelle den Grenzwert gefunden [mm]\left(\bruch{\pi^{2}}{6}\right)[/mm], also konvergiert die Reihe. Nur, wie könnte ich das feststellen?
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
kennst du wirklich nicht das Majorantenkriterium?
dann erfind es neu, zeige dass die Folge [mm] S_n=\summe_{i=1}^{n}1\i^2 =\summe_{i=1}^{n1}1/i^2+\summe_{i=n1+1}^{n}1/i^2=A+\summe_{i=n1+1}^{n}1/i^2und
[/mm]
[mm] \summe_{i=n1+1}^{n}1/i^2<\summe_{i=n1+1}^{n}0,9^n=\bruch{1-0,9^{n+1}}{1-0,9}-\bruch{1-0,9^{n1+1}}{1-0,9} [/mm] für alle n>n1 und damit ist [mm] S_n [/mm] ne beschränkte monoton wachsende Folge, also konv.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:52 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
vielen Dank für deine Antwort.
Als Nichtmathematiker kenne ich das Majorantenkriterium leider nicht; hatte damals auch nur Grundkurs.
Ich werde mich wohl mit der Aussage der Tabelle begnügnen.
Trotzdem Dankeschön,
LG, Martinius
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Eine weitere Möglichkeit ist die Abschätzung durch ein Integral, wenn die Folge monoton fallend ist: Du ersetzt n durch x und erhältst eine stetige Funktion. Die Summe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}}[/mm] schätzt du wie folgt ab:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}}[/mm][mm] >\integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}>[/mm] [mm]\summe_{n=2}^{\infty} a_{n}}[/mm]
vgl. Bilder: Die farbigen Flächen der Stäbe sind die Summanden, die Fläche zwischen Graph und x-Achse der Integralwert.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
In deinem Fall also
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}}[/mm][mm] >\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^2} dx}>[/mm] [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2}}[/mm]
oder
[mm] s_{n}>-1/\infty -(-1/1)>s_{n}-1
[/mm]
oder
[mm] s_{n}>1>s_{n}-1
[/mm]
aus der 2. Ungleichung folgt [mm] 2>s_{n} [/mm] und damit
[mm] 2>s_{n}>1
[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zusatzbemerkung: Man kann so zeigen, dass die $ \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^k}} $
für k>1 konvergiert und für k \le 1 divergiert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:30 Di 17.04.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo HJKweseleit,
vielen Dank für die Erklärung. Ich konnte es nachvollziehen.
LG, Martinius
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