Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Mo 23.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Ist die folgende Reihe konvergent bzw. absolut konvergent?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k^2} [/mm] |
Meiner Meinung nach divergiert die Reihe, da:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k^2}=\summe_{k=1}^{\infty}3^k*\bruch{1}{k^2}>\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{k})^2
[/mm]
Und letzteres ist eine Harmonische Reihe.
Kann ich das so zeigen oder habe ich einen Fehler gemacht?
In der Lösung die ich habe wird das via Wurzelkriterium gemacht. Also:
[mm] \wurzel[k]{\bruch{3^k}{k^2}}=\bruch{3}{\wurzel[k]{k^2}}\to3>1 (k\to\infty)
[/mm]
Aber eigentlich sollte es doch auch wie oben mit dem Minorantenkriterium gehen oder nicht?
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Hallo Zerwas!
[mm] $\summe\left(\bruch{1}{k}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \summe \bruch{1}{k^2}$ [/mm] ist nicht die harmonische Reihe. Und [mm] $\summe \bruch{1}{k^2}$ [/mm] konvergiert auch noch zu allem Überfluss.
Von daher stimmt Deine Abschätzung / Dein Nachweis nicht.
Wenn Du hier nicht mit dem Wurzelkriterium vorgehen willst, kannst Du auch das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz anwenden.
Danach müsste für Konvergenz [mm] $a_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^k}{k^2}$ [/mm] eine Nullfolge sein. Ist [mm] $\left$ [/mm] keine Nullfolge, folgt daraus unmittelbar die Divergenz der Reihe [mm] $\summe a_k$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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