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Hallo,
ich suche das Konvergenzverhalten für
[mm] (\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n}
[/mm]
Ich habe spontan an das Wurzelkriterium gedacht, dann habe ich im Exponenten nur noch 2 stehen (2n*1/n). Aber es hilft ja auch nicht wirklich weiter.
Habt ihr Tipps?
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Hallo Englein,
ich finde das ![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium hier gut.
Natürlich solltest Du vorher noch umformen:
[mm] \left(\bruch{2n-1}{4n+1}\right)^{2n}=\left(\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2*(4n+1)}\right)^{2n}=\left(\bruch{1}{4}\left(1-\bruch{3}{4n+1}+\bruch{9}{(4n+1)^2}\right)\right)^n=\left(\bruch{1}{4}\left(1-6*\bruch{2n-1}{(4n+1)^2}\right)\right)^n
[/mm]
lg,
reverend
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Puh, das klingt aber ziemlich kompliziert.
Gibt es dafür keine einfachere Möglichkeit?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
sorry, doch, das Wurzelkriterium ist okay (ich war wohl nicht ganz bei Sinnen  ):
Es ging' ja um [mm] $\sum_{n=1}^\infty \underbrace{\left(\bruch{2n-1}{4n+1}\right)^{2n}}_{=:a_n}\,,$ [/mm] wenn man dort nun das Wurzelkriterium anwendet, so berechnet man z.B. zunächst
[mm] $$\sqrt[n]{|a_n|}=\left(\frac{2n-1}{4n+1}\right)^2\,.$$
[/mm]
Nun gilt [mm] $\frac{2n-1}{4n+1}=\frac{n*(2\;\;-1/n)}{n*(4\;\;+1/n)}=\frac{2\;\;-1/n}{4\;\;+1/n} \to [/mm] 2/4=1/2$ bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] damit insbesondere
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n-1}{4n+1}\right)^2= \left(\lim_{n \to \infty}\frac{2n-1}{4n+1}\right)^2=(1/2)^2=1/4 [/mm] < [mm] 1\,.$$ [/mm]
Passt schon (irgendwie wollte ich da vorhin anscheinend eine $e$-Teilfolge sehen; da war der Wunsch Vater des Gedanken ).
Gruß,
Marcel
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Du meinst also, dass hier das notwendige Kriterium, dass die Reihe eine Nullfolge sein muss nicht erfüllt ist und die Reihe deshalb zwingend divergent ist?
Wie kommst du auf die erste Umformung? Mir fällt der Exponent 2n schwer, ich weiß nicht, was ich damit bei der Umformung anstellen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
vergiss das bitte von eben. Das muss ich neu überarbeiten, irgendwie hatte ich da was falsch gelesen oder gedacht oder beides. Guck' gleich nochmal nach, wenn das Kästchen nicht mehr gelb ist
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Englein,
> Du meinst also, dass hier das notwendige Kriterium, dass
> die Reihe eine Nullfolge sein muss nicht erfüllt ist und
> die Reihe deshalb zwingend divergent ist?
wie gesagt: Vergessen
> Wie kommst du auf die erste Umformung? Mir fällt der
> Exponent 2n schwer, ich weiß nicht, was ich damit bei der
> Umformung anstellen soll.
Hier wollte ich Dich nochmal an etwas erinnern: Du solltest gewisse Rechenregeln (kennen)gelernt haben:
[mm] $a^{r+s}=a^r*a^s\,,$ $a^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{a^m}$ [/mm] etc. (schlag' die genauen Formulierungen bitte nochmal nach!).
Hier gilt dann z.B. [mm] $$\sqrt[n]{(...)^{2n}}=(...)^\frac{2n}{n}=(...)^2\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Reverend,
> Hallo Englein,
>
> ich finde das Wurzelkriterium
> hier gut.
>
> Natürlich solltest Du vorher noch umformen:
>
> [mm]\left(\bruch{2n-1}{4n+1}\right)^{2n}=\left(\bruch{1}{2}-\bruch{3}{2*(4n+1)}\right)^{2n}=\left(\bruch{1}{4}\left(1-\bruch{3}{4n+1}+\bruch{9}{(4n+1)^2}\right)\right)^n=\left(\bruch{1}{4}\left(1-6*\bruch{2n-1}{(4n+1)^2}\right)\right)^n[/mm]
die Umformung habe ich jetzt nicht geprüft, aber damit kommt das richtige heraus. Ich glaube das also einfach mal
Aber ich find's dennoch irgendwie ungeschickt (wobei das vll. auch Geschmackssache ist), denn es reicht ja
[mm] $$\left(\bruch{2n-1}{4n+1}\right)^{2n}=\left(\left(\bruch{2n-1}{4n+1}\right)^{2}\right)^n\,,$$
[/mm]
und dass [mm] $\frac{2n-1}{4n+1} \to [/mm] 1/2$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] konvergiert, ist leicht einzusehen (notfalls kann man, um sich zu erinnern, auch in meine andere, nun wesentlich berichtigte () Antwort, reingucken).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Was ist hier auf konvergenz zu untersuchen ?
Die Folge
($ [mm] (\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n} [/mm] $)
oder die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n}
[/mm]
??????????????????
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Mo 19.01.2009 | | Autor: | reverend |
Wie immer, Fred, eine gute Frage.
Je nach Antwort ist die Lösung aber mit meiner Umformung leicht zu finden, einmal ja, einmal nein...
edit: Quark. Beide sind konvergent; haben wir doch gerade gezeigt.
Ich habe ehrlich gesagt nicht auf die Überschrift der Anfrage geachtet.
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Was ist hier auf konvergenz zu untersuchen ?
>
>
> Die Folge
>
> ([mm] (\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n} [/mm])
>
>
> oder die Reihe
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n}[/mm]
>
>
>
> ??????????????????
Deine Frage ist berechtigt, aber (und warum das nicht immer deutlich geschrieben wird: ob's an Schreibfaulheit oder sonstwas liegt: K.A.) ich bin mir (wegen des Threadtitels) bis auf den Startindex sicher, dass es um
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ [/mm] mit
[mm] $a_n=\left(\frac{2n-1}{4n+1}\right)^{2n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$; [/mm] oder [mm] $\IN_0$ [/mm] oder...) geht.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ja, ich meine die Reihe (s. Threadtitel). Ich hätte es dazuschreiben sollen, ihr habt Recht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ja, ich meine die Reihe (s. Threadtitel). Ich hätte es
> dazuschreiben sollen, ihr habt Recht.
Sprache und Schrift sind Kommunikationsmittel. Gerade in der Mathematik muß man sich absolut präzise ausdrücken. Ganz oben hast Du geschrieben:
"ich suche das Konvergenzverhalten für
$ [mm] (\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n} [/mm] $"
Also was jetzt ? Reihe oder Folge ? Ich glaube der Unterschied ist Dir nicht klar.
FRED
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