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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mi 13.07.2011 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}n^{-\ln n} [/mm] und [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}. [/mm] |
Hallo,
also ich bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}n^{-\ln n} [/mm] konvergiert absolut, denn für [mm] \mathbb{N}\ni N\geq e^{2} [/mm] gilt [mm] \forall n\geq\mathbb{N}: \ln n\geq2\Leftrightarrow n^{\ln n}\geq n^{2}\Leftrightarrow\frac{1}{n^{2}}\geq\frac{1}{n^{\ln n}}. [/mm] Weil [mm] \sum_{n=1}^{\infty}n^{-2} [/mm] konvergent ist, folgt dann die Behauptung mit dem Majorantenkriterium.
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} [/mm] konvergiert, aber nicht absolut. Die Konvergenz folgt sofort mit dem Leibniz-Kriterium.
Nun behaupte ich, dass [mm] \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\geq\frac{1}{2n} [/mm] ist [mm] \forall [/mm] n. Dies folgt, weil man nach äquivalenten Umformungen [mm] 1\leq3n^{2} [/mm] erhält, was richtig ist.
Also folgt die Divergenz der Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}} [/mm] nach dem Minorantenkriterium.
Ist das soweit alles richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Mi 13.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und
> absolute Konvergenz
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> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\ln n}[/mm] und
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}.[/mm]
> Hallo,
>
> also ich bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\ln n}[/mm] konvergiert absolut, denn
> für [mm]\mathbb{N}\ni N\geq e^{2}[/mm] gilt [mm]\forall n\geq\mathbb{N}: \ln n\geq2\Leftrightarrow n^{\ln n}\geq n^{2}\Leftrightarrow\frac{1}{n^{2}}\geq\frac{1}{n^{\ln n}}.[/mm]
> Weil [mm]\sum_{n=1}^{\infty}n^{-2}[/mm] konvergent ist, folgt dann
> die Behauptung mit dem Majorantenkriterium.
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}[/mm]
> konvergiert, aber nicht absolut. Die Konvergenz folgt
> sofort mit dem Leibniz-Kriterium.
>
> Nun behaupte ich, dass
> [mm]\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}\geq\frac{1}{2n}[/mm] ist [mm]\forall[/mm] n.
> Dies folgt, weil man nach äquivalenten Umformungen
> [mm]1\leq3n^{2}[/mm] erhält, was richtig ist.
>
> Also folgt die Divergenz der Reihe
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}[/mm] nach dem
> Minorantenkriterium.
>
> Ist das soweit alles richtig?
Ja, alles bestens
FRED
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Hallo Unk!
> Dies folgt, weil man nach äquivalenten Umformungen
> [mm]1\leq3n^{2}[/mm] erhält, was richtig ist.
Hier musst Du aufpassen mit der Behauptung "äquivalente Umformung".
Bei diesen Umformungen hast Du mit Sicherheit auch die Ungleichung quadriert. Und dieses Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Mi 13.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Unk!
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> > Dies folgt, weil man nach äquivalenten Umformungen
> > [mm]1\leq3n^{2}[/mm] erhält, was richtig ist.
>
> Hier musst Du aufpassen mit der Behauptung "äquivalente
> Umformung".
> Bei diesen Umformungen hast Du mit Sicherheit auch die
> Ungleichung quadriert. Und dieses Quadrieren ist keine
> Äquivalenzumformung.
Hallo Roadrunner,
für positive Zahlen a und b gilt:
$a [mm] \le [/mm] b ~~~ [mm] \gdw [/mm] ~~~ [mm] a^2 \le b^2$
[/mm]
Gruß FRED
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>
> Gruß vom
> Roadrunner
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