Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:27 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\sum_{n\in \IN} a_{n}$ [/mm] eine Reihe und [mm] $N\in \iN$. [/mm] Man zeige: [mm] $\sum_{n \in \IN} a_{n}$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] $\sum_{n\ge N} a_{n}$ [/mm] konvergiert, und im Falle der Konvergenz gilt :
[mm] $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{N} a_{n} [/mm] + [mm] \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n}$ [/mm] |
Hallo,
konvergiert [mm] $\sum _{n\ge N} a_{n}$ [/mm] dann gilt [mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 \ [mm] m\ge [/mm] n [mm] \ge [/mm] N\ \ [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] |\sum_{n\ge N} a_{n}|<\epsilon [/mm] $ Daraus folgt, dass sich das Konvergenzverhalten nicht ändert, wenn nur endlich viele Summanden verändert werden, weshalb auch [mm] $\sum_{n \in \IN} a_{n}$ [/mm] wenn [mm] $\sum_{n \ge N} a_{n}$ [/mm] konvergiert.
Die Konvergenz ist gleichbedeutend mit der Existenz einer Cauchyfolge und somit auch von einer Folge von Partialsummen für welche gilt :
[mm] $S_{n} [/mm] := [mm] \sum_{k=m}^{n} [/mm] $
$ [mm] S_{n}-S_{N+1}=\sum_{k=N+1}^{n}a_{n}$ [/mm]
und für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] folgt die Behauptung.
ist das so richtig?
Ich bin für jegliche Hilfestellung dankbar.
Gruss
kushkush
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Moin kushkush,
> Es sei [mm]\sum_{n\in \IN} a_{n}[/mm] eine Reihe und [mm]N\in \iN[/mm]. Man
> zeige: [mm]\sum_{n \in \IN} a_{n}[/mm] konvergiert genau dann, wenn
> [mm]\sum_{n\ge N} a_{n}[/mm] konvergiert, und im Falle der
> Konvergenz gilt :
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} = \sum_{n=0}^{N} a_{n} + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> konvergiert [mm]\sum _{n\ge N} a_{n}[/mm] dann gilt [mm]\forall \epsilon >0 \ m\ge n \ge N\ \ \exists N \in \IN : |\sum_{n\ge N} a_{n}|<\epsilon[/mm]
> Daraus folgt, dass sich das Konvergenzverhalten nicht ändert, wenn nur endlich viele Summanden verändert
> werden, weshalb auch [mm]\sum_{n \in \IN} a_{n}[/mm] wenn [mm]\sum_{n \ge N} a_{n}[/mm] konvergiert.
Wie genau folgt das?
>
> Die Konvergenz ist gleichbedeutend mit der Existenz einer
> Cauchyfolge und somit auch von einer Folge von
> Partialsummen für welche gilt :
>
>
> [mm]S_{n} := \sum_{k=m}^{n}[/mm]
Was ist m?
>
> [mm]S_{n}-S_{N+1}=\sum_{k=N+1}^{n}a_{n}[/mm]
>
> und für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] folgt die Behauptung.
Es geht auch so:
[mm] \sum_{n=0}^\infty a_n=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=0}^{m} a_n\stackrel{m\geq N}{=}\lim_{m\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N} a_n+\sum_{n=N+1}^{m} a_n\right)=\sum_{n=0}^{N} a_n+\sum_{n=N+1}^{\infty} a_n
[/mm]
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Fr 05.08.2011 | | Autor: | Nisse |
> Man zeige: [mm]\sum_{n \in \IN} a_{n}[/mm] konvergiert genau dann, wenn
> [mm]\sum_{n\ge N} a_{n}[/mm] konvergiert, [mm]\dots[/mm]
> konvergiert [mm]\sum _{n\ge N} a_{n}[/mm] dann gilt
[mm]\vdots[/mm]
> und für [mm]n\rightarrow \infty[/mm] folgt die Behauptung.
>
> ist das so richtig?
Hier fehlt für die geforderte Äquivalenz die Rückrichtung.
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Hallo kamaleonti und Nisse,
> Wie genau folgt das
wenn sich zwei Reihen um endlich viele Summanden unterscheiden, dann macht man die Epsilon Umgebung so gross/klein, dass darin nur die gleichen Summanden beider Reihen liegen.
Wie man das formal beweisen kann fällt mir nicht ein!
> Es geht auch so
> Hier fehlt die geforderte Rückrichtung
OK. Danke euch beiden!!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 07.08.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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