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Hi,
ich hätte zwei Aufgaben bei denne ich Hilfe brauche:
1) Untersuche auf absolute Konvergenz:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{log(z)^{2k+1}}{(2k+1)!}, z\in \IC
[/mm]
Hier weiss ich nicht, wie ich das zeigen soll... welches Kriterium muss ich denn verwenden?
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2) Skizziere in der Gaußschen Zahlenebene:
log(z) [mm] \in [/mm] i[0; [mm] \pi/2]
[/mm]
Auch hier habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll, vllt. z=x+iy umschreiben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:57 Fr 06.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> ich hätte zwei Aufgaben bei denne ich Hilfe brauche:
>
> 1) Untersuche auf absolute Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\frac{log(z)^{2k+1}}{(2k+1)!}, z\in \IC[/mm]
>
> Hier weiss ich nicht, wie ich das zeigen soll... welches
> Kriterium muss ich denn verwenden?
Für welche w [mm] \in \IC [/mm] konv. die Potenzreihe
[mm][mm] \summe_{k=0}^{\infty}\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}
[/mm]
absolut ?
FRED
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> -----------------------------------------------
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> 2) Skizziere in der Gaußschen Zahlenebene:
> log(z) [mm]\in[/mm] i[0; [mm]\pi/2][/mm]
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> Auch hier habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen soll,
> vllt. z=x+iy umschreiben?
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> Für welche w [mm]\in \IC[/mm] konv. die Potenzreihe
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> [mm][mm]\summe_{k=0}^{\infty}\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
absolut ?
Hm, diese Reihe könnte ich ja auch als sinh(w) umschreiben, kann ich dann sagen, dass sie deshalb auch konvergent ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Fr 06.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> > Für welche w [mm]\in \IC[/mm] konv. die Potenzreihe
> >
> > [mm][mm]\summe_{k=0}^{\infty}\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}[/mm]
> > absolut ?
> Hm, diese Reihe könnte ich ja auch als sinh(w) umschreiben, kann ich
> dann sagen, dass sie deshalb auch konvergent ist?
ja, das geht auch. Aber ich geb' Dir mal den Wink mit dem Zaunpfahl:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty \left|\frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}\right|=\sum_{k=0}^\infty \frac{|w|^{2k+1}}{(2k+1)!} \le \sum_{\ell=0}^\infty \frac{|w|^\ell}{\ell!}=e^{|w|}\,.$$
[/mm]
Und warum ist das DER Wink mit dem Zaunpfahl? Naja, wenn man diese Abschätzung sieht, hätte man doch direkt auch auf die Idee kommen können, dass man die Konvergenzuntersuchung der Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{w^{2k+1}}{(2k+1)!}$ [/mm] genau so machen kann, wie man es bei der mit der Exponentialreihe macht:
Das Quotientenkriterium führt zum Ziel [mm] ($|w|^{2n+1}/((2n+1)!)*(2n-1)!/|w|^{2n-1}=... \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty\,,$ [/mm] $w [mm] \in \IC$ [/mm] bel., aber fest)!
Gruß,
Marcel
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