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| Aufgabe | Bzgl. Konvergenz von Reihen:
Warum reicht bei Untersuchung auf Konvergenz einer unendl. Reihe, z. B. bei Anwendung des Quotentenkriteriums, die Betrachtung
$| [mm] a_{n+1}/a_{n} [/mm] |$ und nicht |
...und nicht
$| [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n+1}/ \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] |$
?
Die Summe i. S. der Reihe (ggf i. S. des Grenzwertes) ist doch nicht die Folge [mm] a_n! [/mm] ...Sondern die Folge der Partialsummen [mm] s1+s2+...+s_n [/mm] für n->undendlich.
Warum geht das Konvergenzkriterium also mit der FOLGE [mm] a_n [/mm] und nicht mit der REIHE über die Folge [mm] a_n?
[/mm]
Es gibt bestimmt eine recht einfache Erklärung...
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Hallo,
> Bzgl. Konvergenz von Reihen:
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> Warum reicht bei Untersuchung auf Konvergenz einer unendl.
> Reihe, z. B. bei Anwendung des Quotentenkriteriums, die
> Betrachtung
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> [mm]| a_{n+1}/a_{n} |[/mm] und nicht
> ...und nicht
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> [mm]| \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n+1}/ \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} |[/mm]
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> ?
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> Die Summe i. S. der Reihe (ggf i. S. des Grenzwertes) ist
> doch nicht die Folge [mm]a_n![/mm] ...Sondern die Folge der
> Partialsummen [mm]s1+s2+...+s_n[/mm] für n->undendlich.
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> Warum geht das Konvergenzkriterium also mit der FOLGE [mm]a_n[/mm]
> und nicht mit der REIHE über die Folge [mm]a_n?[/mm]
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> Es gibt bestimmt eine recht einfache Erklärung...
In der Tat. Zunächst einmal aber eine Gegenfrage: wenn du um die Konvergenz einer Reihe noch gar nicht weißt, welchen Sinn macht dann dein obiger Quotient?
Der Sinn der Konvergenzkriterien bei Reihen dürfte klar sein. Ein anderes Konvergenzkriterium ist das Majorantenkriterium. Wenn man
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=q<1
[/mm]
zeigen kann, dann ist das aus dem einfachen Grund für die Konvergenz der zugehörigen Reihe hinreichend, weil
[mm] \sum_{n=n_0}^{\infty}q^n
[/mm]
eine Majorante zur Reihe
[mm] \sum_{n=n_0}^{\infty}a_n
[/mm]
ist. Fast ebenso einfach lässt sich auch das Wurzelkriterium durch das Majorantenkriterium beweisen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 09.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bzgl. Konvergenz von Reihen:
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> Warum reicht bei Untersuchung auf Konvergenz einer unendl.
> Reihe, z. B. bei Anwendung des Quotentenkriteriums, die
> Betrachtung
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> [mm]| a_{n+1}/a_{n} |[/mm] und nicht
> ...und nicht
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> [mm]| \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n+1}/ \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} |[/mm]
Das ist völliger Unsinn !
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> ?
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> Die Summe i. S. der Reihe (ggf i. S. des Grenzwertes) ist
> doch nicht die Folge [mm]a_n![/mm] ...Sondern die Folge der
> Partialsummen [mm]s1+s2+...+s_n[/mm] für n->undendlich.
Nein ! Ist [mm] s_n=a_1+...+a_n, [/mm] so heißt [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] konvergent, wenn [mm] (s_n) [/mm] konvergiert.
FRED
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> Warum geht das Konvergenzkriterium also mit der FOLGE [mm]a_n[/mm]
> und nicht mit der REIHE über die Folge [mm]a_n?[/mm]
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> Es gibt bestimmt eine recht einfache Erklärung...
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