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| Aufgabe | Wie lautet der Konvergenzradius und die Summe der Reihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} n! * x^n[/mm] |
Hallo zusammen,
konvergiert diese Reihe überhaupt, hat sie also überhaupt einen Konvergenzradius und eine Summe?
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie lautet der Konvergenzradius und die Summe der Reihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n! * x^n[/mm]
>
> Hallo zusammen,
>
> konvergiert diese Reihe überhaupt, hat sie also überhaupt
> einen Konvergenzradius und eine Summe?
habt ihr keine Kriterien für Potenzreihen - bzw. Methoden zur
Berechnung des Konvergenzradius?
Aber eigentlich ist das nur eine "Verkürzung" der Überlegungen mit dem
Wurzel- oder Quotientenkriterium:
Nehmen wir also mal das QK. Wir berechnen:
$$|(n+1)! * [mm] x^{n+1}/(n! [/mm] * [mm] x^n)|=(n+1)*|x|$$
[/mm]
Falls
[mm] $$\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! [/mm] * [mm] x^{n+1}/(n! [/mm] * [mm] x^n)| [/mm] > [mm] 1\,,$$ [/mm]
dann
divergiert die Reihe, und falls
[mm] $$\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! [/mm] * [mm] x^{n+1}/(n! [/mm] * [mm] x^n)| [/mm] < [mm] 1\,,$$ [/mm]
dann konvergiert sie.
Was ist denn nun aber [mm] $\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,$ [/mm] falls $|x| > [mm] 0\,$?
[/mm]
Was ist denn nun aber [mm] $\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,$ [/mm] falls $|x|= [mm] 0\,$?
[/mm]
Also: Diese Reihe konvergiert genau für ein [mm] $x\,:$ [/mm] Welches?
P.S. Beachte dann auch: [mm] $0!*0^0=1*1=1\,.$
[/mm]
P.P.S. Berechnest Du den Konvergenzradius, so sollte dieser [mm] $=0\,$ [/mm] sein.
Daraus folgerst Du: Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| > 0$ divergiert die Reihe, für
alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < 0$ konvergiert sie (es gibt nur keine [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] 0\,.$)
[/mm]
Der Fall $|x|=0 [mm] \;\gdw [/mm] x=0$ ist dann SEPARAT zu betrachten!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für Deine Hilfe.
> habt ihr keine Kriterien für Potenzreihen - bzw. Methoden
> zur
> Berechnung des Konvergenzradius?
An was dachtest Du denn da? Wir haben nur definiert, was man aus dem Konvergenzradius [mm]R \in \IR^{\geq 0} \cup \left \{ \infty \right \}[/mm] folgern kann (Potenzreihe ist absolut konvergent für jedes [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\left | x \right | < R[/mm], absolut divergent für jedes [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\left | x \right | > R[/mm], ...)
> Aber eigentlich ist das nur eine "Verkürzung" der
> Überlegungen mit dem
> Wurzel- oder Quotientenkriterium:
> Nehmen wir also mal das QK. Wir berechnen:
> [mm]|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)|=(n+1)*|x|[/mm]
>
> Falls
> [mm]\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)| > 1\,,[/mm]
> dann
> divergiert die Reihe, und falls
> [mm]\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)| < 1\,,[/mm]
> dann konvergiert sie.
Das kann ich nachvollziehen (ist ja "nur" das ganz normale QK).
> Was ist denn nun aber [mm]\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,[/mm]
> falls [mm]|x| > 0\,[/mm]?
> Was ist denn nun aber [mm]\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,[/mm]
> falls [mm]|x|= 0\,[/mm]?
>
> Also: Diese Reihe konvergiert genau für ein [mm]x\,:[/mm] Welches?
Also konvergiert die Reihe für x=0?
> P.S. Beachte dann auch: [mm]0!*0^0=1*1=1\,.[/mm]
>
> P.P.S. Berechnest Du den Konvergenzradius, so sollte dieser
> [mm]=0\,[/mm] sein.
> Daraus folgerst Du: Für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| > 0[/mm] divergiert
> die Reihe, für
> alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 0[/mm] konvergiert sie (es gibt nur keine
> [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 0\,.[/mm])
> Der Fall [mm]|x|=0 \;\gdw x=0[/mm] ist dann
> SEPARAT zu betrachten!
Was meinst Du mit separat betrachten? Der Fall x=0 wurde doch oben schon betrachtet?
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Hallo Patrick,
> Hallo Marcel,
>
> danke für Deine Hilfe.
>
>
> > habt ihr keine Kriterien für Potenzreihen - bzw. Methoden
> > zur
> > Berechnung des Konvergenzradius?
>
> An was dachtest Du denn da? Wir haben nur definiert, was
> man aus dem Konvergenzradius [mm]R \in \IR^{\geq 0} \cup \left \{ \infty \right \}[/mm]
> folgern kann (Potenzreihe ist absolut konvergent für jedes
> [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\left | x \right | < R[/mm], absolut divergent
> für jedes [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\left | x \right | > R[/mm], ...)
Es gibt das Kriterium von Cauchy-Hadamard, das sich aus dem Wurzelkriterium herleiten lässt und ein mir unter dem Namen Euler-Kriterium bekanntes Kriterium, das sich aus dem QK ergibt.
Demnach berechnet sich der Konverenzradius $R$ einer Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n\ge 0}a_n (x-x_0)^n$ [/mm] durch
[mm] $R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ [/mm] - so denn alles schön definiert ist ...
Es gilt dann (absolute) Konvergenz für [mm] $|x-x_0|R$
[/mm]
Für [mm] $|x-x_0|=R$ [/mm] liefern die Kriterien keine Aussage zur Konvergenz (was aber für den Konvergenzradius keine Rolle spielt)
Hier ergibt sich als Konvergenzradius $R=0$, also KOnvergenz nur für $x=0$
Eine Potenzreihe ist IMMER zumindest in ihrem Entwicklungspunkt, also für [mm] $x=x_0$ [/mm] (hier [mm] $x_0=0$) [/mm] konvergent ...
>
>
> > Aber eigentlich ist das nur eine "Verkürzung" der
> > Überlegungen mit dem
> > Wurzel- oder Quotientenkriterium:
> > Nehmen wir also mal das QK. Wir berechnen:
> > [mm]|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)|=(n+1)*|x|[/mm]
> >
> > Falls
> > [mm]\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)| > 1\,,[/mm]
> > dann
> > divergiert die Reihe, und falls
> > [mm]\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)| < 1\,,[/mm]
> > dann konvergiert sie.
>
> Das kann ich nachvollziehen (ist ja "nur" das ganz normale
> QK).
>
>
> > Was ist denn nun aber [mm]\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,[/mm]
> > falls [mm]|x| > 0\,[/mm]?
> > Was ist denn nun aber [mm]\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,[/mm]
> > falls [mm]|x|= 0\,[/mm]?
> >
> > Also: Diese Reihe konvergiert genau für ein [mm]x\,:[/mm] Welches?
>
> Also konvergiert die Reihe für x=0?
Natürlich, für alle anderen ist der obige Limsup ja [mm] $\infty$ [/mm] - lax gesprochen
>
>
> > P.S. Beachte dann auch: [mm]0!*0^0=1*1=1\,.[/mm]
> >
> > P.P.S. Berechnest Du den Konvergenzradius, so sollte dieser
> > [mm]=0\,[/mm] sein.
> > Daraus folgerst Du: Für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| > 0[/mm]
> divergiert
> > die Reihe, für
> > alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 0[/mm] konvergiert sie (es gibt nur keine
> > [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 0\,.[/mm])
> > Der Fall [mm]|x|=0 \;\gdw x=0[/mm] ist
> dann
> > SEPARAT zu betrachten!
>
> Was meinst Du mit separat betrachten? Der Fall x=0 wurde
> doch oben schon betrachtet?
Ja, um den Konvergenzradius zu berechnen, interessiert die "Nahtstelle" nicht, wenn du alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] angeben sollst, für die die Reihe konvergiert, musst du die Nahtstelle gesondert untersuchen.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 So 25.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo schachuzipus,
danke für Deine ausführliche Erläuterung!
> Es gibt das Kriterium von Cauchy-Hadamard, das sich aus dem
> Wurzelkriterium herleiten lässt und ein mir unter dem
> Namen Euler-Kriterium bekanntes Kriterium, das sich aus dem
> QK ergibt.
>
> Demnach berechnet sich der Konverenzradius [mm]R[/mm] einer
> Potenzreihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_n (x-x_0)^n[/mm] durch
>
> [mm]R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
> - so denn alles schön definiert ist ...
>
> Es gilt dann (absolute) Konvergenz für [mm]|x-x_0|
> Divergenz für [mm]|x-x_0|>R[/mm]
>
> Für [mm]|x-x_0|=R[/mm] liefern die Kriterien keine Aussage zur
> Konvergenz (was aber für den Konvergenzradius keine Rolle
> spielt)
Leider hatten wir in der Vorlesung (noch) keines diesr beiden Kriterien. Ich hoffe aber, dass das noch kommen wird – denn damit wird sich der Rechen- und Schreibaufwand sicher minimieren.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für Deine Hilfe.
>
>
> > habt ihr keine Kriterien für Potenzreihen - bzw. Methoden
> > zur
> > Berechnung des Konvergenzradius?
>
> An was dachtest Du denn da? Wir haben nur definiert, was
> man aus dem Konvergenzradius [mm]R \in \IR^{\geq 0} \cup \left \{ \infty \right \}[/mm]
> folgern kann (Potenzreihe ist absolut konvergent für jedes
> [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\left | x \right | < R[/mm], absolut divergent
> für jedes [mm]x \in \IR[/mm] mit [mm]\left | x \right | > R[/mm], ...)
>
>
> > Aber eigentlich ist das nur eine "Verkürzung" der
> > Überlegungen mit dem
> > Wurzel- oder Quotientenkriterium:
> > Nehmen wir also mal das QK. Wir berechnen:
> > [mm]|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)|=(n+1)*|x|[/mm]
> >
> > Falls
> > [mm]\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)| > 1\,,[/mm]
> > dann
> > divergiert die Reihe, und falls
> > [mm]\limsup_{n \to \infty }|(n+1)! * x^{n+1}/(n! * x^n)| < 1\,,[/mm]
> > dann konvergiert sie.
>
> Das kann ich nachvollziehen (ist ja "nur" das ganz normale
> QK).
>
>
> > Was ist denn nun aber [mm]\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,[/mm]
> > falls [mm]|x| > 0\,[/mm]?
> > Was ist denn nun aber [mm]\limsup_{n \to \infty }\; (n+1)*|x|\,,[/mm]
> > falls [mm]|x|= 0\,[/mm]?
> >
> > Also: Diese Reihe konvergiert genau für ein [mm]x\,:[/mm] Welches?
>
> Also konvergiert die Reihe für x=0?
Ja, und zwar genau für [mm] $x=0\,.$
[/mm]
>
> > P.S. Beachte dann auch: [mm]0!*0^0=1*1=1\,.[/mm]
> >
> > P.P.S. Berechnest Du den Konvergenzradius, so sollte dieser
> > [mm]=0\,[/mm] sein.
> > Daraus folgerst Du: Für alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| > 0[/mm]
> divergiert
> > die Reihe, für
> > alle [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 0[/mm] konvergiert sie (es gibt nur keine
> > [mm]x\,[/mm] mit [mm]|x| < 0\,.[/mm])
> > Der Fall [mm]|x|=0 \;\gdw x=0[/mm] ist
> dann
> > SEPARAT zu betrachten!
>
> Was meinst Du mit separat betrachten? Der Fall x=0 wurde
> doch oben schon betrachtet?
Ja, wir hatten ihn schon im Voraus SEPARAT betrachtet. Alleine mit dem
QK wird man hier ja auch schon direkt fertig.
Wenn man die Aufgabe aber durch das Berechnen des Konvergenzradius
löst, so ist der Konvergenzradius [mm] $0\,.$ [/mm] Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| > 0$
divergiert die Reihe dann. Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] 0\,$ [/mm] (solche gibt es
nicht!) konvergiert sie. Für [mm] $|x|=0\,$ [/mm] ist alleine mit dem Konvergenzradius
[mm] $0\,$ [/mm] dann keine Aussage möglich.
Also muss man, wenn man mit dem Konvergenzradius alleine rechnen will,
den Fall [mm] $|x|=0\,$ [/mm] noch abhandeln. Und das ist wegen $|x|=0 [mm] \gdw [/mm] x=0$
eben der Fall [mm] $x=0\,.$ [/mm] (Wie gesagt: Stell' Dir vor, das QK hätten wir gar
nicht angewendet, sondern nur den Konvergenzradius der Reihe
berechnet...)
Gruß,
Marcel
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