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| Aufgabe | Berechnen Sie die Summe der Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-2)^{2k}\cdot{}(-6)^{1-4k} [/mm] |
Zuerst bringe ich die Reihe auf die Form einer geometrischen Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-2)^{k}\cdot{}(-2)^{k}\cdot{}-6\cdot{}(-6)^{-k}\cdot{}(-6)^{-k}\cdot{}(-6)^{-k}\cdot{}(-6)^{-k}
[/mm]
-6 [mm] \cdot{} \summe_{k=1}^{\infty} (4\cdot{}\bruch{1}{1296})^{k}
[/mm]
q = [mm] \bruch{4}{1296} [/mm] = [mm] \bruch{1}{324}
[/mm]
Das setze ich in die Formel [mm] \bruch{1}{1 - q} [/mm] ein und erhalte folgendes:
-6 [mm] \cdot{}\bruch{1}{1-\bruch{1}{324}} [/mm] =
-6 [mm] \cdot{}\bruch{1}{\bruch{323}{324}} [/mm] =
[mm] \bruch{-1944}{323}
[/mm]
Richtiges Ergebnis soll allerdings [mm] \bruch{6}{325} [/mm] sein.
Wo hab ich diesmal wieder einen Fehler gemacht?
Lg
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Hallo Dreamweaver,
du hast alles richtig gemacht, aber was ganz entscheidendes übersehen.
Deine Reihe hat (noch) nicht die Form einer geometrischen Reihe. Schau dir mal die Laufindizes an.
MFG,
Gono.
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Danke,
meinst du die Tatsache, dass die gegebene Reihe bei k=1 und die geometrische Reihe bei k = 0 beginnt?
Bring ich die Reihe dann mit folgendem Schritt auf die gewünschte Form?:
[mm] (-6)\cdot{}\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k}
[/mm]
[mm] (-6)\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k-1}
[/mm]
[mm] (-6)\cdot{}(-\bruch{1}{324})\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{54}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k}
[/mm]
Wenn ich das ausrechne, bekomm ich [mm] \bruch{6}{323} [/mm] als Ergebnis. Kommt schon näher ans richtige Ergebnis [mm] \bruch{6}{325} [/mm] ran aber irgendwas hab ich immer noch falsch.
Nur was?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Danke,
>
> meinst du die Tatsache, dass die gegebene Reihe bei k=1 und
> die geometrische Reihe bei k = 0 beginnt?
>
> Bring ich die Reihe dann mit folgendem Schritt auf die
> gewünschte Form?:
>
> [mm](-6)\cdot{}\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k}[/mm]
>
> [mm](-6)\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k-1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wenn du den Laufindex an der Summe um 1 heruntersetzt, musst du das in der Summe korrigieren, indem du ihn um 1 erhöhst, also
[mm]...=(-6)\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{324}\right)^{k+1}[/mm]
>
> [mm](-6)\cdot{}(-\bruch{1}{324})\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k}[/mm]
Das hast du falsch rausgezogen, du willst ja [mm]\left(\frac{1}{324}\right)^{-1}=324[/mm] rausziehen ...
(ist aber dennoch falsch ... - siehe oben)
Weiter [mm](-6)\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{324}\right)^{k+1}=(-6)\cdot{}\frac{1}{324}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{324}\right)^k=\ldots[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{54}\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{324})^{k}[/mm]
Das stimmt nun bis aufs Vorzeichen wieder ...
>
> Wenn ich das ausrechne, bekomm ich [mm]\bruch{6}{323}[/mm] als
> Ergebnis.
Das ist bis auf das falsche Vorzeichen korrekt!
> Kommt schon näher ans richtige Ergebnis
> [mm]\bruch{6}{325}[/mm] ran
Wer sagt, dass das richtig ist?
> aber irgendwas hab ich immer noch
> falsch.
> Nur was?
Das Vorzeichen 
Und die Rechnung ist etwas konfus ...
Alternativ zur Indexverschiebung kannst du auch einfach den Summanden für [mm]k=0[/mm], den du bei der "richtigen" geometrischen Reihe mehr hast, einfach abziehen, also
[mm](-6)\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{324}\right)^k=(-6)\cdot{}\left[\left( \ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{324}\right)^k \ \right) \ - \ \overbrace{\left(\frac{1}{324}\right)^0}^{=1} \ \right][/mm]=...
>
> Lg
>
Gruß
schachuzipus
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Danke!
Naja, die Aufgabe ist aus einer Onlineübung (MapleTA) und da wurde eben dieses Ergebnis [mm] \bruch{6}{325} [/mm] als richtiges Ergebnis angegeben -.- .
Es gibt noch mehrere Aufgaben, und bei keiner dieser Aufgaben komm ich mit deiner letztangegebenen Form auf das richtige Ergebnis.
Ich werde mal den Tutor anschreiben, vielleicht liegt der Fehler wirklich an der Software.
Lg
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Hallo nochmal,
> Danke!
>
> Naja, die Aufgabe ist aus einer Onlineübung (MapleTA) und
> da wurde eben dieses Ergebnis [mm]\bruch{6}{325}[/mm] als richtiges
> Ergebnis angegeben -.- .
Vielleicht vertippt oder falsch eingegeben?
Maple12 gibt folgendes:
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Es gibt noch mehrere Aufgaben, und bei keiner dieser
> Aufgaben komm ich mit deiner letztangegebenen Form auf das
> richtige Ergebnis.
> Ich werde mal den Tutor anschreiben, vielleicht liegt der
> Fehler wirklich an der Software.
Ja, mache das mal ...
>
> Lg
>
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ist eben eine Onlinesoftware, das heißt, der Tutor hat die Beispiele mit Ergebnis ins Internet gestellt. Da haben sie wohl die falschen Ergebnisse reingestellt.
Wolframalpha sagt auch das [mm] \bruch{-6}{323} [/mm] stimmt.
Vielen Dank jedenfalls!
Lg
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