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| Aufgabe | | Berechnen Sie den zugehörigen Reihenwert von $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \bruch [/mm] {1} {k(k+1)} $ |
Hallo :)
Wie gehe ich bei einer solchen Aufgabe vor. Es entstehen ja keine Werte die nicht von k abhängen die ich herausziehen könnte.
Ausmultiplizieren bringt auch nicht wirklich was oder?
Gibt es ein Schema f?
Kann mir jmd einen tip geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Di 24.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lehrling!
Führe für den Bruch eine  Partialbruchzerlegung vor:
[mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+1}$
[/mm]
Anschließend entsteht eine sogenannte "Teleskopsumme", bei welcher nur noch sehr wenige Summanden übrigbleiben.
Gruß
Loddar
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nach Partialbruchzerlegung komme ich auf :
[mm] $\bruch [/mm] {1} {k} - [mm] \bruch [/mm] {1}{k+1}$
Also habe ich dann:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \bruch [/mm] {1} {k} - [mm] \bruch [/mm] {1}{k+1}$
Wie würde es dann weiter gehen?
mfg
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Hiho,
ein bisschen selbst denken sollst du auch!
Schreib dir die ersten Summanden doch mal auf, was fällt dir auf?
Ansonsten: Summe auseinanderziehen, Indexverschiebung.
MFG,
Gono.
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es scheint monoton fallend zu sein und sich an null anzunähern ..
Also wäre der Reihenwert null.
Wenn die Folge der Reihe monoton fällt, müsste es ja auch laut Leibnizkriterium konvergieren oder?
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Hiho,
> es scheint monoton fallend zu sein und sich an null
> anzunähern ..
Was scheint monoton fallend zu sein?
> Also wäre der Reihenwert null.
Ist er offensichtlich nicht. Wie kann eine Reihe mit ausschließlich positiven Gliedern Null ergeben?
> Wenn die Folge der Reihe monoton fällt, müsste es ja auch
> laut Leibnizkriterium konvergieren oder?
Leibnitzkriterium setzt eine alternierende Folge voraus.
Ausserdem sollst du nicht bestimmen OB die REihe konvergiert, sondern den Reihenwert angeben. Da nutzen dir Konvergenzkriterien herzlich wenig.
Schreibe doch mal bitte die ersten Summanden deiner (bereits partial zerlegten) Reihe hin. Am besten hier im Forum, für alle sichtbar.
Wie sieht der erste Summand der Reihe aus? Wie der zweite? Wie der dritte? Summiere diese!
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Di 24.01.2012 | | Autor: | Lehrling21 |
k=1 : [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
k=2 : [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
k=3 : [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
k=4 : [mm] \bruch{1}{20}
[/mm]
k=5: [mm] \bruch{1}{30} [/mm]
Summe wäre [mm] \bruch{5}{6} [/mm] und mit jedem Summanden den ich hinzufüge nähert sich die Summe der 1.
Mein Gedanke vorher kam daher, dass ich irgendwo mal aufgeschnappt hatte das sich der Grenzwert der Reihe aus der Summe der Grenzwerte der Teilfolgen ergibt...
Sry fürs dämlich anstellen ..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Di 24.01.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> k=1 : [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> k=2 : [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> k=3 : [mm]\bruch{1}{12}[/mm]
>
> k=4 : [mm]\bruch{1}{20}[/mm]
>
> k=5: [mm]\bruch{1}{30}[/mm]
hat jemand was von Zusammenfassen gesagt? Also die Partialsummenglieder haben die Form [mm] $\bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1}$
[/mm]
Und wenn man die mal sauber hinschreibt als Summe, fällt einem was auf und wie Schuppen von den Augen.
> Summe wäre [mm]\bruch{5}{6}[/mm] und mit jedem Summanden den ich
> hinzufüge nähert sich die Summe der 1.
Jo.
> Mein Gedanke vorher kam daher, dass ich irgendwo mal
> aufgeschnappt hatte das sich der Grenzwert der Reihe aus
> der Summe der Grenzwerte der Teilfolgen ergibt...
Ja und Nein. Als Grenzwert der Partialsumme(!), d.h. [mm] $\summe_{k=1}^\infty a_k [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} \summe_{k=1}^n a_k$ [/mm]
Du könntest also auch [mm] $\summe_{k=1}^n a_k$ [/mm] berechnen und dann [mm] n\to\infty [/mm] betrachten. Aber auch da hilft obiges einfaches hinschreiben der Reihenglieder nach der Partialbruchzerlegung.
MFG,
Gono.
> Sry fürs dämlich anstellen ..
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