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Hallo,
ich habe Grundkurs Mathematik, 12. Klasse und folgende Aufgabe zu lösen:
Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei -1 und nimmt ihr Minimum bei x = 4 ein. Im 4. Quadranten liegt unterhalb der x-Achse über dem Intervall [0;1] ein Flächenstück A zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen Inhalt 11 beträgt.
Um welche Kurve handelt es sich?
Dem Text konnte ich entnehmen, dass es sich um eine allgemeine Funktion mit f(x)=ax² + bx + c handelt.
c = -1, da sie die y-Achse bei -1 schneidet.
Minimum bedeutet ja Tiefpunkt, der also bei x = 4 liegt. Ich war letztes Jahr im Ausland und weiß daher nicht, wie ich nun mit Hilfe des Tiefpunktes a und b errechnen soll. Muss ich die erste Ableitung bilden?
Dies wäre dann
f'(x)= 2ax + b + 0
f'(4)= 8a + b
Ist das soweit richtig oder völlig falsch? Wie muss ich weiter vorgehen??
Vielen Dank im Voraus!
MfG
Claudia
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Hi, Claudinchen,
> Eine quadratische Parabel schneidet die y-Achse bei -1 und
> nimmt ihr Minimum bei x = 4 ein. Im 4. Quadranten liegt
> unterhalb der x-Achse über dem Intervall [0;1] ein
> Flächenstück A zwischen der Parabel und der x-Achse, dessen
> Inhalt 11 beträgt.
> Dem Text konnte ich entnehmen, dass es sich um eine
> allgemeine Funktion mit f(x)=ax² + bx + c handelt.
OK!
> c = -1, da sie die y-Achse bei -1 schneidet.
Auch richtig!
> Minimum bedeutet ja Tiefpunkt, der also bei x = 4 liegt.
> Ich war letztes Jahr im Ausland und weiß daher nicht, wie
> ich nun mit Hilfe des Tiefpunktes a und b errechnen soll.
> Muss ich die erste Ableitung bilden?
>
> Dies wäre dann
> f'(x)= 2ax + b + 0
> f'(4)= 8a + b
>
> Ist das soweit richtig oder völlig falsch? Wie muss ich
> weiter vorgehen??
Ist wieder richtig! Nennen wir die Gleichung 8a + b = 0 einfach mal "(I)"
Fehlt nur noch die Sache mit der Fläche:
[mm] \integral_{0}^{1} {(ax^{2}+bx-1)dx} [/mm] = -11
(Minus deshalb, weil die Fläche ja im 4.Quadranten, also unterhalb der x-Achse liegen soll!)
Aus diesem Ansatz kriegst Du nun eine weitere Gleichung (Gleichung (II))
in a und b, sodass Du mit Hilfe von (I) die beiden Zahlen ausrechnen kannst.
Probier's und frag' nach, wenn irgendwas nicht hinhaut!
mfG!
Zwerglein
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