Rekonstruktionsaufgaben < VK 37: Kurvendiskussionen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Rekonstruieren sie folgende Funktionen:
Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion 3. Grades, die bei x=-1 eine Nullstelle hat und bei x=-2 einen Wendepunkt mit der Wendetangente y=3x+2,5.
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| Aufgabe 2 | Der Graph eines Polynoms 5. Grades ist symmetrisch zum Koordinatenurpsrung, er geht durch die beiden Punkte A(2/36) und B(-3/-384) und hat an der Stelle x=3 die Steigung 704.
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| Aufgabe 3 | Zerlegen sie die Zahl 12 so in zwei Summanden, dass
a) ihr Produkt möglichst groß wird,
b) die Summe ihrer Quadrate möglichst klein wird.
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Zu 2.) Was bedeutet symmetrisch zum Ursprung und was bedeutet das für die Funktion und die Exponenten von x?
Zu 3.) Die gesuchte Zahl soll also die Summe von zwei Zahlen sein. Diese zwei Summanden ergeben aber auch ein Produkt (a) oder aber die Quadrate ergeben eine Summe (b)
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Aufgabenblatt 2
Aufgabe 1
Ganzrationale Funktion 3.Grades, Nullstelle bei x=-1, Wendepunkt bei x=-2 und Wendetangente y=3x+2.5
Allgemeine Form : [mm] f(x)=ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
Wendepunkt Berechnung des y-Wertes:
Einsetzen des x-Wertes in die Tangentengleichung:
y=3*-2 + 2.5 = -3.5
Wendepunkt WP (-2 | -3.5)
Wir bilden die 1. und 2.Ableitung der ganzrationalen Funktion:
[mm] f'(x)=3ax^2 [/mm] + 2bx + c
f''(x)=6ax + 2b
Da für den WP gilt f''(x)=0 können wir [mm] x_w_p [/mm] in die 2.Ableitung einsetzen:
[mm] f''(x_w_p)=0
[/mm]
0=6a*-2 + 2b=-12a+2b | :2 ergibt
0=-6a + b Dies ist die 1. von 4 zur weiteren Berechnung der Funktion benötigten Gleichungen !
Jetzt setzen wir die Nullstelle in die Funktionsgleichung ein:
[mm] f(x_0)=0=a*(-1)^3 [/mm] + [mm] b*(-1)^2 [/mm] + c*(-1) + d
0= -a + b c + d (=die 2. von 4 benötigten Gleichungen)
Da die Steigung einer Funktion durch die 1.Ableitung bestimmt wird, also
Steigung = f'(x) gilt und wir die die Steigung im Wendepunkt durch die Gleichung der Wendetangente [mm] t(x_W_P)=3x_W_P [/mm] + 2.5 und deren 1.Ableitung [mm] t'(x_W_P)=3 [/mm] kennen, können wir diese Werte in die 1.Ableitung der Ausgangsfunktion einsetzen:
[mm] f'(x_W_P)=3=3a*(-2)^2 [/mm] + 2b*(-2) + c
3=12a 4b + c (=3. von 4 benötigten Gleichungen)
Die 4.benötigte Gleichung erhalten wir, indem wir den Wendepunkt WP (-2 | -3.5) in die Ausgangsfunktion einsetzen:
[mm] f(x_W_P)= [/mm] -3.5= [mm] a*(-2)^3 [/mm] + [mm] b*(-2)^2 [/mm] + c*(-2) + d
-3.5= -8a + 4b -2c + d
Somit haben wir 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten a, b, c und d:
I 0= -6a + b
II 0= -a +b c + d
III -3= 12a 4b + c
IV -3.5= -8a + 4b 2c+ d
Jetzt gilt es, eine Variable nach der anderen zu eliminieren, um die übrig bleibende Variable zu bestimmen. Dazu benutzt ich Gleichsetzungs-, Additions- und Subtraktionsverfahren.
Es ginge auch direkt (und einfacher) mit dem Gauß-Algorithmus.
Da die Variable d nur 2 x vorkommt, wird sie zuerst eliminiert. Dazu subtrahiere ich II-IV:
und erhalte:
Gleichung A: +3.5= 7a -3b +c
Die Variable c ist in den 3 noch vorhandenen Gleichungen 2 x vertreten, wird nun also eliminiert. Ich subtrahiere III-A:
und erhalte:
Gleichung B: -6.5= 5a b
Nun habe ich 2 Gleichungen (I und B) mit 2 Unbekannten. Erweitern oder Kürzen brauche ich nicht, da einmal +b und einmal b steht. Ich addiere beide Gleichungen I+B:
Und erhalte:
I+B= -6.5 = -a | *-1 ergibt
a=6.5
Durch Einsetzen dieser Lösung erhalte ich für die weiteren Variablen die Werte:
b=39 c=75 und d= 42.5
Die Ausgangsfunktion hat also folgendes Aussehen:
f(x)= [mm] 6.5x^3 +39x^2 [/mm] +75x +42.5
Aufgabe 2
Eine ganzrationale Funktion 5.Grades hat die Form:
f(x)= [mm] ax^5 +bx^4 +cx^3 +dx^2 [/mm] + ex + f
Da die gesuchte Funktion durch den Ursprung (0 | 0) gehen und punktsymmetrisch zum Ursprung sein soll (es gilt: f(x)=-f(-x)), fallen die geraden Exponenten weg, d.h. die Variable f=0 wegen P(0 | 0) und b=0 sowie d=0 wegen der Punktsymmetrie (bei geraden Exponenten von x gibt es keine Punktsymmetrie zum Ursprung !, nur bei ungeraden Exponenten)
Die allgemeine Form einer derartigen Funktion muss (in diesem Fall, mit den Variablen a, c und e) also lauten: [mm] f(x)=ax^5 [/mm] + [mm] cx3^3 [/mm] +ex
Der Graph geht durch die Punkt A (2 | 36) und B (-3 | -384), zudem hat die Steigung bei x=3 den Wert 704 (d.h. f´(3)=704 für [mm] f´(x)=5ax^4 [/mm] + [mm] cx^3 [/mm] +ex)
Wir haben nun 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten a, c und e:
[mm] I: f(xA)=f(2)=36=a*2^5 [/mm] + [mm] c*2^3 [/mm] +e*2
[mm] II: f(xB)=f(-3)=-384=a*(-3)^5 [/mm] + [mm] c*(-3)^3 [/mm] + e*(-3)
[mm] III: f'(3)=704=5a*34^4 [/mm] + [mm] 3c*3^2 [/mm] + e
Das Ganze mit ausgerechneten Potenzen:
I: 36= 32a + 8c + 2e (kann man noch durch 2 kürzen und erhält:
I: 18= 16a +4c +e
II: -384= -243a 27c - 3e (kann man noch durch (-3) kürzen und erhält:
II: 128= 81a + 9c + e
III: 704= 405a +27c + e
Auch hier kann man es mit dem Gauß-Algorithmus lösen.
Mit Gleichsetzungs-, Additions- und Subtraktionsverfahren erhalte ich:
a= 2 c= -4 e= 2
Die gesuchte Funktion lautet:
f(x)= [mm] 2x^5 -4x^3 [/mm] +2x
Aufgabe 3
Zerlegen Sie eine Zahl 12 so in zwei Summanden, dass
a) ihr Produkt möglichst groß wird,
b) die Summe ihrer Quadrate möglichst klein wird
1.Zahl= x 2.Zahl y= 12 x
a) f(x)= x * y = x *(12 x) = 12x - [mm] x^2
[/mm]
gefordert ist, dass das Produkt beider Zahlen möglichst groß ist, d.h. es muss sich um einen Extremwert (Hochstelle) der Funktion handeln ! Also ist die Steigung am gesuchten Punkt gleich Null. Die 1.Ableitung wird gleich Null gesetzt und man erhält den gesuchten Wert für x. Die 2.Ableitung bestimmt, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Da f''(x)= -2 also <0 ist, handelt es sich um einen Hochpunkt.
f(x)= 12x [mm] x^2
[/mm]
f'(x)=12 2x
Bei f'(x)=0 erhält man x=6 daraus folgt y=12-6=6
b) f(x)= [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
f(x)= [mm] x^2 [/mm] + (12 x)2
f(x)= [mm] x^2 [/mm] + 144 -24x + x2
f(x)= 2 [mm] x^2 [/mm] -24 x + 144
gefordert ist, dass die Summe der Quadrate beider Zahlen möglichst klein ist, d.h. es müsste sich um einen Tiefpunkt (Steigung gleich 0) handeln, für den gilt:
f'(x)=0 und f´´(x)>0
f'(x)=0= 4x 24 man erhält: x=6
f''(x)= 4 , da 4 > 0 ist, hat man einen Tiefpunkt.
.
Zusammenfassend kann man feststellen, dass die Zahlen x=6 und y=6 die Aufgaben a) und b) erfüllen
Schachschorsch
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> Aufgabenblatt 2
> Aufgabe 1
>
> Ganzrationale Funktion 3.Grades, Nullstelle bei x=-1,
> Wendepunkt bei x=-2 und Wendetangente y=3x+2.5
>
> Allgemeine Form : [mm]f(x)=ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
>
> Wendepunkt Berechnung des y-Wertes:
>
> Einsetzen des x-Wertes in die Tangentengleichung:
>
> y=3*-2 + 2.5 = -3.5
>
> Wendepunkt WP (-2 | -3.5)
>
> Wir bilden die 1. und 2.Ableitung der ganzrationalen
> Funktion:
>
> [mm]f'(x)=3ax^2[/mm] + 2bx + c
>
> f''(x)=6ax + 2b
>
> Da für den WP gilt f''(x)=0 können wir [mm]x_w_p[/mm] in die
> 2.Ableitung einsetzen:
>
> [mm]f''(x_w_p)=0[/mm]
>
> 0=6a*-2 + 2b=-12a+2b | :2 ergibt
>
> 0=-6a + b Dies ist die 1. von 4 zur weiteren Berechnung der
> Funktion benötigten Gleichungen !
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt setzen wir die Nullstelle in die Funktionsgleichung
> ein:
>
> [mm]f(x_0)=0=a*(-1)^3[/mm] + [mm]b*(-1)^2[/mm] + c*(-1) + d
>
> 0= -a + b c + d (=die 2. von 4 benötigten Gleichungen)
>
> Da die Steigung einer Funktion durch die 1.Ableitung
> bestimmt wird, also
>
> Steigung = f'(x) gilt und wir die die Steigung im
> Wendepunkt durch die Gleichung der Wendetangente
> [mm]t(x_W_P)=3x_W_P[/mm] + 2.5 und deren 1.Ableitung [mm]t'(x_W_P)=3[/mm]
> kennen, können wir diese Werte in die 1.Ableitung der
> Ausgangsfunktion einsetzen:
>
> [mm]f'(x_W_P)=3=3a*(-2)^2[/mm] + 2b*(-2) + c
>
> 3=12a 4b + c (=3. von 4 benötigten Gleichungen)
>
> Die 4.benötigte Gleichung erhalten wir, indem wir den
> Wendepunkt WP (-2 | -3.5) in die Ausgangsfunktion
> einsetzen:
>
> [mm]f(x_W_P)=[/mm] -3.5= [mm]a*(-2)^3[/mm] + [mm]b*(-2)^2[/mm] + c*(-2) + d
> -3.5= -8a + 4b -2c + d
>
> Somit haben wir 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten a, b, c und
> d:
>
> I 0= -6a + b
> II 0= -a +b c + d
> III -3= 12a 4b + c
> IV -3.5= -8a + 4b 2c+ d
stimmt noch
>
> Jetzt gilt es, eine Variable nach der anderen zu
> eliminieren, um die übrig bleibende Variable zu
> bestimmen. Dazu benutzt ich Gleichsetzungs-, Additions- und
> Subtraktionsverfahren.
>
> Es ginge auch direkt (und einfacher) mit dem
> Gauß-Algorithmus.
>
> Da die Variable d nur 2 x vorkommt, wird sie zuerst
> eliminiert. Dazu subtrahiere ich II-IV:
>
> und erhalte:
> Gleichung A: +3.5= 7a -3b +c
>
> Die Variable c ist in den 3 noch vorhandenen Gleichungen 2
> x vertreten, wird nun also eliminiert. Ich subtrahiere
> III-A:
>
> und erhalte:
> Gleichung B: -6.5= 5a b
>
> Nun habe ich 2 Gleichungen (I und B) mit 2 Unbekannten.
> Erweitern oder Kürzen brauche ich nicht, da einmal +b und
> einmal b steht. Ich addiere beide Gleichungen I+B:
>
> Und erhalte:
> I+B= -6.5 = -a | *-1 ergibt
> a=6.5
>
> Durch Einsetzen dieser Lösung erhalte ich für die weiteren
> Variablen die Werte:
>
> b=39 c=75 und d= 42.5
Tja, dann stimmt doch alles...komisch
>
> Die Ausgangsfunktion hat also folgendes Aussehen:
>
> f(x)= [mm]6.5x^3 +39x^2[/mm] +75x +42.5
alles richtig samt Probe, die könnt ihr aber auch selbst machen, daher korrigier ich erstmal nicht weiter, da du offenbar diesen Aufgabentyp kannst und alles richtig machst. Wenn du wissen möchtest, ob deine Ergebnisse stimmen, kannst du die Probe machen, ich vergleich einfach mit meinen Lösungen (die hier wieder falsch war seufz)
>
> Aufgabe 2
> Eine ganzrationale Funktion 5.Grades hat die Form:
>
> f(x)= [mm]ax^5 +bx^4 +cx^3 +dx^2[/mm] + ex + f
>
> Da die gesuchte Funktion durch den Ursprung (0 | 0) gehen
> und punktsymmetrisch zum Ursprung sein soll (es gilt:
> f(x)=-f(-x)), fallen die geraden Exponenten weg, d.h. die
> Variable f=0 wegen P(0 | 0) und b=0 sowie d=0 wegen der
> Punktsymmetrie (bei geraden Exponenten von x gibt es keine
> Punktsymmetrie zum Ursprung !, nur bei ungeraden
> Exponenten)
>
> Die allgemeine Form einer derartigen Funktion muss (in
> diesem Fall, mit den Variablen a, c und e) also lauten:
> [mm]f(x)=ax^5[/mm] + [mm]cx3^3[/mm] +ex
> Der Graph geht durch die Punkt A (2 | 36) und B (-3 |
> -384), zudem hat die Steigung bei x=3 den Wert 704 (d.h.
> f´(3)=704 für [mm]f´(x)=5ax^4[/mm] + [mm]cx^3[/mm] +ex)
>
> Wir haben nun 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten a, c und
> e:
>
> [mm]I: f(xA)=f(2)=36=a*2^5[/mm] + [mm]c*2^3[/mm] +e*2
>
> [mm]II: f(xB)=f(-3)=-384=a*(-3)^5[/mm] + [mm]c*(-3)^3[/mm] + e*(-3)
>
> [mm]III: f'(3)=704=5a*34^4[/mm] + [mm]3c*3^2[/mm] + e
>
> Das Ganze mit ausgerechneten Potenzen:
>
> I: 36= 32a + 8c + 2e (kann man noch durch 2 kürzen und
> erhält:
> I: 18= 16a +4c +e
> II: -384= -243a 27c - 3e (kann man noch durch (-3)
> kürzen und erhält:
> II: 128= 81a + 9c + e
> III: 704= 405a +27c + e
>
> Auch hier kann man es mit dem Gauß-Algorithmus lösen.
>
> Mit Gleichsetzungs-, Additions- und Subtraktionsverfahren
> erhalte ich:
>
> a= 2 c= -4 e= 2
>
> Die gesuchte Funktion lautet:
>
> f(x)= [mm]2x^5 -4x^3[/mm] +2x
perfekt
>
> Aufgabe 3
> Zerlegen Sie eine Zahl 12 so in zwei Summanden, dass
> a) ihr Produkt möglichst groß wird,
> b) die Summe ihrer Quadrate möglichst klein wird
>
> 1.Zahl= x 2.Zahl y= 12 x
>
> a) f(x)= x * y = x *(12 x) = 12x - [mm]x^2[/mm]
>
> gefordert ist, dass das Produkt beider Zahlen möglichst
> groß ist, d.h. es muss sich um einen Extremwert
> (Hochstelle) der Funktion handeln ! Also ist die Steigung
> am gesuchten Punkt gleich Null. Die 1.Ableitung wird gleich
> Null gesetzt und man erhält den gesuchten Wert für x. Die
> 2.Ableitung bestimmt, ob es sich um einen Hoch- oder
> Tiefpunkt handelt. Da f''(x)= -2 also <0 ist, handelt es
> sich um einen Hochpunkt.
>
> f(x)= 12x [mm]x^2[/mm]
>
> f'(x)=12 2x
>
> Bei f'(x)=0 erhält man x=6 daraus folgt y=12-6=6
so ist es
>
> b) f(x)= [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
>
> f(x)= [mm]x^2[/mm] + (12 x)2
> f(x)= [mm]x^2[/mm] + 144 -24x + x2
>
> f(x)= 2 [mm]x^2[/mm] -24 x + 144
>
> gefordert ist, dass die Summe der Quadrate beider Zahlen
> möglichst klein ist, d.h. es müsste sich um einen Tiefpunkt
> (Steigung gleich 0) handeln, für den gilt:
>
> f'(x)=0 und f´´(x)>0
>
> f'(x)=0= 4x 24 man erhält: x=6
>
> f''(x)= 4 , da 4 > 0 ist, hat man einen Tiefpunkt.
> .
> Zusammenfassend kann man feststellen, dass die Zahlen x=6
> und y=6 die Aufgaben a) und b) erfüllen
>
> Schachschorsch
alles richtig
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 15.10.2008 | | Autor: | sasi |
3a)
6+6=12
6*6=36
b)6²+6²=72
naj vielleicht nicht im sinne des erfinders oder eher stellers der aufgabe, aber immerhin etwas und meiner meinung nach die richtige lösung.
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> 3a)
> 6+6=12
> 6*6=36
>
> b)6²+6²=72
>
> naj vielleicht nicht im sinne des erfinders oder eher
> stellers der aufgabe, aber immerhin etwas und meiner
> meinung nach die richtige lösung.
Joa stimmt...Ergebnis ist zwar korrekt, aber anfangen kann ich damit nichts, die Aufgabe war eine besonders leichte Extremwert aufgabe, bei der man die Hauptbedingung aufstellen sollte, also
a+b=12 (in diesem Fall Nebenbedingung)
und mit einer Nebenbedingung eine Zielfunktion zu erstellen.
a) a*b=max
b=12-a
Z(a)=a*(12-a)
Die kann man dann ableiten, um Hoch- und Tiefpunkte zu erhalten ^^
Wenn du das so gemacht hast ok, wenn nicht und es war nur raten, dann bitte einfach den Weg verinnerlichen
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