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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 So 24.02.2013 | | Autor: | Flipper |
| Aufgabe | In einen Bioreaktor fließen pro Stunde 20g einer Substanz zu. Die Mikroben im Reaktor bauen pro Stunde 40 Prozent der vorhandenen Substanz ab.
Wir nehmen an, dass [mm] x_n [/mm] die Menge der Substanz im Bioreaktor nach [mm] n\in\IN\sub [/mm] Stunden angibt. Stellen Sie eine Rekursionsformel auf, die die Bestimmung von [mm] x_{n+1} [/mm] aus [mm] x_n [/mm] erlaubt. Die Anfangsmenge der Substanz sei dabei [mm] x_0. [/mm] |
Hallo zusammen,
ich zerbrech mir an dieser Aufgabe gerade den Kopf. Mein Ansatz lautet:
[mm] x_n=20\times n-20\times n\times [/mm] 0,4 , da ja 40% der Biomasse pro Stunde abgebaut werden. Ich komme nur nicht drauf, wie ich hier [mm] x_0 [/mm] und die Rekursion einbauen soll. In dem Ansatz von mir fehlt ja auch komplett die Menge die von [mm] x_{n-1} [/mm] und vorigen Stunden im Reaktor noch drin ist.
Freue mich über Hilfe, Felix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Felix und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> In einen Bioreaktor fließen pro Stunde 20g einer Substanz
> zu. Die Mikroben im Reaktor bauen pro Stunde 40 Prozent der
> vorhandenen Substanz ab.
>
> Wir nehmen an, dass [mm]x_n[/mm] die Menge der Substanz im
> Bioreaktor nach [mm]n\in\IN\sub[/mm] Stunden angibt. Stellen Sie
> eine Rekursionsformel auf, die die Bestimmung von [mm]x_{n+1}[/mm]
> aus [mm]x_n[/mm] erlaubt. Die Anfangsmenge der Substanz sei dabei
> [mm]x_0.[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> ich zerbrech mir an dieser Aufgabe gerade den Kopf. Mein
> Ansatz lautet:
>
> [mm]x_n=20\times n-20\times n\times[/mm] 0,4
Das ist leider ganz falsch. Das kannst du schon dran sehen, dass man beide Summanden zusammenfassen kann zu einer Proportionalität, und außerdem ist die Darstellung explizit und nicht rekursiv.
>, da ja 40% der
> Biomasse pro Stunde abgebaut werden. Ich komme nur nicht
> drauf, wie ich hier [mm]x_0[/mm] und die Rekursion einbauen soll.
Das [mm] x_0: [/mm] gar nicht. Es ist nur so, dass man einen Anfangswert vorgeben muss, damit eine Rekursion mit einer Rekursionstiefe 1 überhaupt definiert ist. Im Sinne einer mathematisch korrekten Aufgabenstellung ist dieser Anfangswert also erwähnt, ohne dass man ihn konkret verwendet (das müsste man erst in dem Moment tun, wenn man den Prozess explizit darstellen möchte).
> In dem Ansatz von mir fehlt ja auch komplett die Menge die von
> [mm]x_{n-1}[/mm] und vorigen Stunden im Reaktor noch drin ist.
>
Weißt du noch vom Abi her (oder so), was eine Differenzialgleichung ist? So ähnlich geht das hier auch. Man baut die Rekursion zusammen aus dem was schon da ist, und aus dem, was hinzukommt bzw. was durch Abnahme weggeht.
Also: sicherlich wirt zum Zeitpunkt n+1 vom Bestand zum Zeitpunkt n ausgegangen, also setzen wir mal an:
[mm] x_{n+1}=x_n+...
[/mm]
Nun kommen pro Stunde 20g der Substanz hinzu, und wir hätten
[mm] x_{n+1}=x_n+20-...
[/mm]
Jetzt muss noch ein term gefunden werden, der abgezogen wird, und der für die abgebaute Substanz während dieser Stunde steht. Das sind 40% von was?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 24.02.2013 | | Autor: | Flipper |
| Aufgabe | In einen Bioreaktor fließen pro Stunde 20g einer Substanz zu. Die Mikroben im Reaktor bauen pro Stunde 40 Prozent der vorhandenen Substanz ab.
Wir nehmen an, dass die Menge der Substanz im Bioreaktor nach Stunden angibt. Stellen Sie eine Rekursionsformel auf, die die Bestimmung von aus erlaubt. Die Anfangsmenge der Substanz sei dabei |
Danke für die schnelle Antwort!
Würde das also heißen, dass die Formel so aussieht:
[mm] x_{n+1}=x_n+20-(x_n+20)\times [/mm] 0,4 ?
Und könnte man das nicht auch so ausdrücken?
[mm] x_{n+1}=(x_n+20)\times [/mm] 0,6
Gruß, Felix
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Hallo,
> Würde das also heißen, dass die Formel so aussieht:
>
> [mm]x_{n+1}=x_n+20-(x_n+20)\times[/mm] 0,4 ?
Nein, da ist noch ein gravierender Denkfehler drin: die 40% beziehen sich auf den Bestand zum Zeitpunkt n, bei dir jedoch auf den (neuen) Bestand zum Zeitpunkt n+1.
>
> Und könnte man das nicht auch so ausdrücken?
>
> [mm]x_{n+1}=(x_n+20)\times[/mm] 0,6
Nein, die fertige Rekursion sollte von der Form
[mm] x_{n+1}=x_n+k*(S-x_n)
[/mm]
sein und ist allseits bekannt unter dem Begriff beschränktes bzw. begrenztes Wachstum.
Gruß, Diophant
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