Rekursionsformel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finden Sie Rekursionsformeln zur Berechnung des folgenden Integrals:
[mm] I_{2n}=\integral_{a}^{b}{(\frac{dx}{1+x^2)^n}} [/mm] |
hallo,
Tutorium und Skript haben mir bisher nicht weitergeholfen.
Ich habe leider kein Idee, wie ich diese Nuss knacken soll.
Vielleicht habt ihr einen Tipp?
Richard
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Hallo richardducat,
> Finden Sie Rekursionsformeln zur Berechnung des folgenden
> Integrals:
>
> [mm]I_{2n}=\integral_{a}^{b}{(\frac{dx}{1+x^2)^n}}[/mm]
> hallo,
>
> Tutorium und Skript haben mir bisher nicht weitergeholfen.
> Ich habe leider kein Idee, wie ich diese Nuss knacken
> soll.
>
> Vielleicht habt ihr einen Tipp?
Substituiere hier zunächst [mm]x=\tan\left(u\right)[/mm].
Dann musst Du das partiell Integrieren, wodurch
sich dann eine Rekursionsformel ergibt.
>
> Richard
Gruss
MathePower
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hallo mathepower,
mit x=tan(u) folgt:
[mm] \frac{dx}{du}=\frac{1}{cos(u)^2}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\frac{du}{cos(u)^2*(1+tan(u)^2)^n}}=\integral_{a}^{b}{\frac{du}{cos(u)^2*(\frac{1}{cos(u)^2})^n}}=\integral_{a}^{b}{\frac{(cos(u)^2)^n}{cos(u)^2}du}
[/mm]
mmh...was sagst du dazu? ich vermute, es ist falsch
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mathepower,
>
> mit x=tan(u) folgt:
>
> [mm]\frac{dx}{du}=\frac{1}{cos(u)^2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\frac{du}{cos(u)^2*(1+tan(u)^2)^n}}=\integral_{a}^{b}{\frac{du}{cos(u)^2*(\frac{1}{cos(u)^2})^n}}=\integral_{a}^{b}{\frac{(cos(u)^2)^n}{cos(u)^2}du}[/mm]
Durch die Subsitution ändern sich auch die Grenzen.
>
> mmh...was sagst du dazu? ich vermute, es ist falsch
Jetzt muss Du eine Rekursionsformel für das Integral
[mm]\integral_{u_{1}}^{u_{2}}{\frac{(cos(u)^2)^n}{cos(u)^2}du}=\integral_{u_{1}}^{u_{2}}{\cos^{2n-2}\left(u\right) \ du}[/mm]
finden.
>
> richard
Gruss
MathePower
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hallo mahtepower,
leider komme ich mit der aufgabe überhaupt nicht weiter.
wäre für einen tipp sehr dankbar
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mahtepower,
>
> leider komme ich mit der aufgabe überhaupt nicht weiter.
spalte den Integranden
[mm]\cos^{2n-2}\left(u\right)[/mm]
so auf, daß Du partiell integrieren kannst:
[mm]\cos^{2n-2}\left(u\right)=\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right)[/mm]
Dann ist das Integral
[mm]\integral_{}^{}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}[/mm]
zu berechnen.
>
> wäre für einen tipp sehr dankbar
>
> richard
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo mathepower,
vielen dank für deinen tipp!
hab mal versucht was daraus zu machen
$\integral_{}^{}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}$
ergibt partiell integriert:
$\integral_{}^{}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+\integral_{}^{}{\((2n-3)sin^2(u)\cos^{2n-3}}\cos(u)}}\ du}$
muss ich das nun als I_{2n} oder I_n ausdrücken,damit aus meinem ausgangsintegral aus der aufgabenstellung
$ I_{2n}=\integral_{a}^{b}{(\frac{dx}{1+x^2)^n}} = \integral_{u_1}^{u_2}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du} $
eine Rekursionformel wird?
Und wie kann ich mein ergebnis aus der partiellen integration noch weiter vereinfachen?
gruß
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mathepower,
> vielen dank für deinen tipp!
>
> hab mal versucht was daraus zu machen
>
> [mm]\integral_{}^{}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}[/mm]
>
> ergibt partiell integriert:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+\integral_{}^{}{\((2n-3)sin^2(u)\cos^{2n-3}}\cos(u)}}\ du}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\integral_{}^{}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+\integral_{}^{}{\((2n-3)sin^2(u)\cos^{2n-\red{4}}}\cos(u)}}\ du}[/mm]
>
> muss ich das nun als [mm]I_{2n}[/mm] oder [mm]I_n[/mm] ausdrücken,damit aus
> meinem ausgangsintegral aus der aufgabenstellung
> [mm]I_{2n}=\integral_{a}^{b}{(\frac{dx}{1+x^2)^n}} = \integral_{u_1}^{u_2}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}[/mm]
In der Aufgabenstellung steht [mm]I_{2n}[/mm].
Es gilt
[mm]I_{2n}=\integral_{a}^{b}{(\frac{dx}{1+x^2)^n}} = \integral_{u_1}^{u_2}{\cos^{2n-3}\left(u\right)}\cos}\left(u\right) \ du}=\integral_{u_1}^{u_2}{\cos^{2\left(n\right)-2}\left(u\right)} \ du}[/mm]
Daher gilt auch:
[mm]I_{2n-2}=I_{2\left(n-1\right)}=\integral_{a}^{b}{(\frac{dx}{1+x^2)^{n-1}}} =\integral_{u_1}^{u_2}{\cos^{2\left(n-1\right)-2}\left(u\right)} \ du}[/mm]
>
> eine Rekursionformel wird?
> Und wie kann ich mein ergebnis aus der partiellen
> integration noch weiter vereinfachen?
Für das rechtsstehende Integral kannst Du
den trigonometrischen Pythagoras anwenden.
Dann bekommst Du eine Rekursionsformel.
>
> gruß
> richard
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo mathepower,
schönen dank für deine mühe!
tu mich noch ein bisschen schwer mit der umformung
mittels trigonometr. pythagoras
$\integral_{u_1}^{u_2}{\cos^{2\left(n-1\right)-2}\left(u\right)} \ du}$
ich weis zwar,dass cos^2+sin^2=1, aber
ob das auch für cos^{2(n-1)-2} gilt?
also: cos^{2(n-1)-2}=1-sin^{2(n-1)-2}?
gruß
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mathepower,
>
> schönen dank für deine mühe!
>
> tu mich noch ein bisschen schwer mit der umformung
> mittels trigonometr. pythagoras
>
> [mm]\integral_{u_1}^{u_2}{\cos^{2\left(n-1\right)-2}\left(u\right)} \ du}[/mm]
>
> ich weis zwar,dass [mm]cos^2+sin^2=1,[/mm] aber
>
> ob das auch für [mm]cos^{2(n-1)-2}[/mm] gilt?
>
> also: [mm]cos^{2(n-1)-2}=1-sin^{2(n-1)-2}?[/mm]
Es gilt nur
[mm]cos^2+sin^2=1[/mm]
Damit kannst Du das Integral
[mm]\integral_{}^{}{ \sin^{2}\left(u\right)*\cos^{2n-4}\left(u\right) \ du}[/mm]
umformen.
Dann steht da:
[mm]\integral_{}^{}{ \cos^{2n-4}\left(u\right) - \cos^{2n-2}\left(u\right) \ du}[/mm]
Zur Erinnerung, gesucht war eigentlich
[mm]\integral_{}^{}{ \cos^{2n-2}\left(u\right) \ du}[/mm]
>
> gruß
> richard
Gruss
MathePower
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hallo mathepower,
alles noch ein bisschen hübsch zusammengerückt ergibt:
[mm] I_{2n}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+(2n-3))I_{2(n-1)}-I_{2(n-1)}
[/mm]
kann man das so stehen lassen?
na und dann sollte doch sicher noch zurücksubstituiert werden?
gruß
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mathepower,
>
> alles noch ein bisschen hübsch zusammengerückt ergibt:
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> [mm]I_{2n}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+(2n-3))I_{2(n-1)}-I_{2(n-1)}[/mm]
>
> kann man das so stehen lassen?
Hier muss doch stehen:
[mm]I_{2n}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+(2n-3)\left(I_{2(n-1)}-I_{2\red{n}})[/mm]
Jetzt formst das nach[mm]I_{2n}[/mm] um,
und Du hast dann eine Rekursionsformel.
>
> na und dann sollte doch sicher noch zurücksubstituiert
> werden?
Es ist nur der Ausdruck
[mm]cos^{2n-3}(u)sin(u)[/mm]
zurückzusubstituieren.
Oder Du kannst die transformierten Grenzen
in diesem Ausdruck einsetzen.
>
> gruß
> richard
Gruss
MathePower
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hallo mathepower,
dann hab ich's ja fast geschafft.
würd gern noch den ausdruck
$ [mm] cos^{2n-3}(u)sin(u) [/mm] $
zurücksubstituieren.
es gilt ja [mm] x=tan(u)\Rightarrow u=tan^{-1}(x)
[/mm]
[mm] sin(tan^{-1}x)=\frac{x}{\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
aber was mache ich mit [mm] cos^{2n-3}(tan^{-1}(x)?
[/mm]
gruß
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mathepower,
>
> dann hab ich's ja fast geschafft.
>
> würd gern noch den ausdruck
>
> [mm]cos^{2n-3}(u)sin(u)[/mm]
>
> zurücksubstituieren.
>
> es gilt ja [mm]x=tan(u)\Rightarrow u=tan^{-1}(x)[/mm]
>
> [mm]sin(tan^{-1}x)=\frac{x}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>
> aber was mache ich mit [mm]cos^{2n-3}(tan^{-1}(x)?[/mm]
Nun es gilt:
[mm]\cos\left(u\right)=\bruch{1}{\wurzel{1+\tan^{2}\left(u\right)}}[/mm]
>
> gruß
> richard
Gruss
MathePower
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hallo mathepower,
hab nun folgendes raus:
[mm] I_{2n}=\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}(2n-2)}+\frac{(2n-3)}{1+(2n-3)}I_{2(n-1)}
[/mm]
gruß
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mathepower,
>
> hab nun folgendes raus:
>
> [mm]I_{2n}=\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}(2n-2)}+\frac{(2n-3)}{1+(2n-3)}I_{2(n-1)}[/mm]
Beim ersten Summanden fehlt noch so einiges.
>
> gruß
> richard
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo mathepower,
wenn ich $ I_{2n}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+(2n-3)\left(I_{2(n-1)}-I_{2{n}}) $
nach I_{2n}$ umstelle, erhalte ich
I_{2n}=\frac{cos^{2n-3}(u)sin(u)+(2n-3)I_{2n-1}}{(2n-3)+1}
wobei ich für cos^{2n-3}(u)sin(u) zurücksubstituiert auch
\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}} schreiben kann
das also eingesetzt ergibt bei mir:
I_{2n}=\frac{\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+(2n-3)I_{2n-1}}{(2n-3)+1}
meine Frage: ist es denn bis hierhin richtig?
gruß
richard
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Hallo richardducat,
> hallo mathepower,
>
> wenn ich
> [mm]I_{2n}=cos^{2n-3}(u)sin(u)+(2n-3)\left(I_{2(n-1)}-I_{2{n}})[/mm]
>
> nach [mm]I_{2n}$[/mm] umstelle, erhalte ich
>
> [mm]I_{2n}=\frac{cos^{2n-3}(u)sin(u)+(2n-3)I_{2n-1}}{(2n-3)+1}[/mm]
>
> wobei ich für [mm]cos^{2n-3}(u)sin(u)[/mm] zurücksubstituiert
> auch
> [mm]\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}[/mm] schreiben kann
>
> das also eingesetzt ergibt bei mir:
>
> [mm]I_{2n}=\frac{\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}+(2n-3)I_{2n-1}}{(2n-3)+1}[/mm]
>
> meine Frage: ist es denn bis hierhin richtig?
Ja, bis hierhin ist das richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> gruß
> richard
Gruss
MathePower
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