Rekursionsformel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Sei x>0 fest gewählt. Definiere [mm] I_k:=\integral_{0}^{x}{sin^k*t dt}, [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Zeigen Sie mittels partieller Integration für [mm] k\ge [/mm] 2 die Rekursionsformel
[mm] I_k= -\bruch{1}{k}cosxsin^{k-1}x+\bruch{k-1}{k}I_{k-2} [/mm] |
Hallo,
ich habe zwar den Ansatz, komme aber nicht weiter:
Es gilt [mm] I_0=t [/mm] und [mm] I_1=-cost
[/mm]
Für [mm] k\ge [/mm] 2 folgt mit partieller Integration
[mm] I_{k+2}=\integral_{0}^{x}{sin^k*t*sin^2t dt}=[\bruch{t-\bruch{sin(2t)}{2}}{2}*sin^k*t]=\integral_{0}^{x}\bruch{t-\bruch{sin(2t)}{2}}{2}sin^{k-1}*t [/mm] dt
weiter komme ich aber nicht? Habe ich bis hierhin etwas falsch gemach? Wenn nein, wäre ich für einen Hinweis sehr dankbar.
PS: bei [mm] [\bruch{t-\bruch{sin(2t)}{2}}{2}*sin^k*t] [/mm] müssten noch die Grenzen hin, aber ich habs hier irgendwie nicht hinbekommen.
Danke im Voraus
Lg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Fr 26.04.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo Laura!
> Sei x>0 fest gewählt. Definiere
> [mm]I_k:=\integral_{0}^{x}{\sin^k*t dt}[/mm], [mm]k \in \IN[/mm]
> Zeigen Sie
> mittels partieller Integration für [mm]k\ge 2[/mm] die
> Rekursionsformel
> [mm]I_k= -\bruch{1}{k}\cos x\sin^{k-1}x+\bruch{k-1}{k}I_{k-2}[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich habe zwar den Ansatz, komme aber nicht weiter:
>
> Es gilt [mm]I_0=t[/mm] und [mm]I_1=-cost[/mm]
Nicht ganz: [mm] $I_0=x$ [/mm] und [mm] $I_1=-\cos [/mm] x$.
>
> Für [mm]k\ge[/mm] 2 folgt mit partieller Integration
>
> [mm]I_{k+2}=\integral_{0}^{x}{sin^k*t*sin^2t dt}=[\bruch{t-\bruch{sin(2t)}{2}}{2}*sin^k*t]=\integral_{0}^{x}\bruch{t-\bruch{sin(2t)}{2}}{2}sin^{k-1}*t[/mm]
> dt
>
> weiter komme ich aber nicht? Habe ich bis hierhin etwas
> falsch gemach? Wenn nein, wäre ich für einen Hinweis sehr
> dankbar.
Tipp: Zerlege den Integranden so:
[mm] I_{k+1}= \integral_{0}^{x}{\sin^k t*\sin t dt} = \left[-\cos t * \sin^k t\right]_0^x+ \integral_{0}^{x}{\cos t *k*\sin^{k-1}t*\cos t dt} [/mm]
und benutze [mm] $\cos^2 [/mm] t= [mm] 1-\sin^2 [/mm] t$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 28.04.2013 | | Autor: | Laura87 |
Hallo rainerS,
vielen dank für deine Korrektur und deinen Hinweis.
Ich habe nun bei deinem Tipp angesetzt:
[mm] I_{k+1}= \integral_{0}^{x}{\sin^k t\cdot{}\sin t dt} [/mm] = [mm] \left[-\cos t \cdot{} \sin^k t\right]_0^x+ \integral_{0}^{x}{\cos t \cdot{}k\cdot{}\sin^{k-1}t\cdot{}\cos t dt}
[/mm]
[mm] =[-cost*sin^kt]_0^x+k \integral_{0}^{x}{1-sin^2t)sin^{k-1}tdt}
[/mm]
[mm] =[-cost*sin^kt]_0^x+k \integral_{0}^{x}{(sin^{k-1}t-sin^{k+1}t)dt}
[/mm]
[mm] =[-cost*sin^k*t]_0^x+kI_{k-1}-kI_{k+1}
[/mm]
hieraus folgt:
[mm] I_{k+1}=\bruch{[-cost*sin^k*t]_0^x+kI_{k-1}}{k+1}
[/mm]
ich komme ab hier leider nicht mehr weiter :-S
Lg Laura
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 So 28.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo rainerS,
>
> vielen dank für deine Korrektur und deinen Hinweis.
> Ich habe nun bei deinem Tipp angesetzt:
>
>
> [mm]I_{k+1}= \integral_{0}^{x}{\sin^k t\cdot{}\sin t dt}[/mm] =
> [mm]\left[-\cos t \cdot{} \sin^k t\right]_0^x+ \integral_{0}^{x}{\cos t \cdot{}k\cdot{}\sin^{k-1}t\cdot{}\cos t dt}[/mm]
>
> [mm]=[-cost*sin^kt]_0^x+k \integral_{0}^{x}{1-sin^2t)sin^{k-1}tdt}[/mm]
>
> [mm]=[-cost*sin^kt]_0^x+k \integral_{0}^{x}{(sin^{k-1}t-sin^{k+1}t)dt}[/mm]
>
> [mm]=[-cost*sin^k*t]_0^x+kI_{k-1}-kI_{k+1}[/mm]
>
> hieraus folgt:
>
> [mm]I_{k+1}=\bruch{[-cost*sin^k*t]_0^x+kI_{k-1}}{k+1}[/mm]
>
> ich komme ab hier leider nicht mehr weiter :-S
Du mußt doch nur noch [mm] [-cost*sin^k*t]_0^x [/mm] ausrechnen. Dann hast Du alles !
FRED
>
> Lg Laura
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 So 28.04.2013 | | Autor: | Laura87 |
> Du mußt doch nur noch [mm][-cost*sin^k*t]_0^x[/mm] ausrechnen. Dann
> hast Du alles !
>
> FRED
> >
also es ist ja
[mm] [-cost*sin^k*t]_0^x=-cosx*sin^kx
[/mm]
wenn ich das einsetze habe ich
[mm] I_{k+1}=\bruch{-cosxsin^kx+kI_{k-1}}{k+1}
[/mm]
was muss ich den machen, dass im Index nur k steht und nicht k+1?
dann würde ich auch [mm] auf:I_k= -\bruch{1}{k}cosxsin^{k-1}x+\bruch{k-1}{k}I_{k-2} [/mm] kommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 28.04.2013 | | Autor: | chrisno |
Ich habe nun nicht alles durchgelesen,
>
> [mm]I_{k+1}=\bruch{-cosxsin^kx+kI_{k-1}}{k+1}[/mm]
>
> was muss ich den machen, dass im Index nur k steht und
> nicht k+1?
>
> dann würde ich auch [mm]auf:I_k= -\bruch{1}{k}cosxsin^{k-1}x+\bruch{k-1}{k}I_{k-2}[/mm]
> kommen
ich hoffe, dass ich Dein Problem, das keines ist, verstehe. In der Gleichung ist kein Wert für k festgelegt. Du kannst an jeder Stelle k durch eine um eins kleinere Zahl ersetzen: schreibe überall, wo k stand, k-1 hin.
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