Rekursionsformel Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
| Aufgabe | Rekursionsformel berechnen:
[mm] A_{k}:= \integral_{}^{}{\bruch{x^{k}}{\wurzel{1-x^{2}}}dx} [/mm] |
Ich habe bereits versucht partiell zu integrieren. aber ich komme dann ich nicht weiter, bzw. ich wollte auch den arcsin ins spiel bringen da dieser ja das integral von [mm] \wurzel{1-x^{2}} [/mm] ist.
kann mir jemand mit einem tipp weiterhelfen? danke
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Hallo Mimuu,
ich habe auch keine Idee, aber eine Frage:
Gibt es irgendwelche Einschränkungen für k?
Für ganzzahlige k ist das Integral ja komplett lösbar, aber die Lösungen für gerade und ungerade k sehen grundsätzlich unterschiedlich aus, auch die für positive und negative k.
Eine Rekursionsformel dürfte daher nur für [mm] k-2\to{k} [/mm] möglich sein, und selbst das nur, wenn klar ist, ob gerade oder ungerade k untersucht werden.
Das, nebenbei, spricht für zweimalige partielle Integration, wie so oft.
Ich lasse die Frage natürlich halboffen, vielleicht weiß ja doch jemand weiter...
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
es heißt nur [mm] k\in \IN>0
[/mm]
und berechnung der Integrale für [mm] n\in \IN \cup{0} [/mm] aber n ist bei dieser aufgabe nicht gegeben, diese angabe bezieht sich dann wahrscheinlich auf die anderen teilaufgaben.
vielleicht hat ja jemand anders noch eine idee, ich bin für jeden tipp der zur lösung beiträgt dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Rekursionsformel berechnen:
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> [mm]A_{k}:= \integral_{}^{}{\bruch{x^{k}}{\wurzel{1-x^{2}}}dx}[/mm]
>
> Ich habe bereits versucht partiell zu integrieren. aber ich
> komme dann ich nicht weiter, bzw. ich wollte auch den
> arcsin ins spiel bringen da dieser ja das integral von
> [mm]\wurzel{1-x^{2}}[/mm] ist.
>
> kann mir jemand mit einem tipp weiterhelfen? danke
Ja. Nimm an, dass $k [mm] \ge [/mm] 2 $ ist, schreibe das Integral als
[mm] A_{k}:= \integral_{}^{} x^{k-1} \bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}}dx}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und integriere partiell ($u=x^{k-1}$, $v=\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}}$). Dann schreibe
[mm] \wurzel{1-x^{2}} = \bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm].
Damit führst du das Integral [mm] $A_k$ [/mm] auf [mm] $A_{k-2}$ [/mm] zurück. Die Integrale [mm] $A_0$ [/mm] und [mm] $A_1$ [/mm] musst du direkt ausrechnen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:51 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
warum setze ich am anfang [mm] x^{k-1} [/mm] und nicht [mm] x^{k}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
habe es verstanden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
ich habe jetzt mal partiell integriert. dann steht bei mir:
[mm] \integral_{}^{}{x^{k-1}*\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}} }}dx [/mm] =
[mm] \bruch{1}{k}x^{k}*\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}} } [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{}\bruch{1}{k}x^{k}* ({\bruch{\wurzel{1-x^{2})}-x*\wurzel{1-x^{2}}}}{1-x^{2}})
[/mm]
das [mm] 1-x^{2} [/mm] sollte im nenner stehen.
aber jetzt??? bin ich schon fertig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ich habe jetzt mal partiell integriert. dann steht bei
> mir:
>
> [mm]\integral_{}^{}{x^{k-1}*\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}} }}dx[/mm] =
>
> [mm]\bruch{1}{k}x^{k}*\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}} } - \integral_{}^{}{}\bruch{1}{k}x^{k}* (\bruch{\wurzel{1-x^{2})}-x*\wurzel{1-x^{2}}}{1-x^{2}})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das stimmt so nicht, denn die Ableitung von $\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}} }}$ ist
[mm] \bruch{\wurzel{1-x^{2})}-x*\bruch{-x}{\wurzel{1-x^{2}}}}{1-x^{2}} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> aber jetzt??? bin ich schon fertig?
Machs so, wie ich geschrieben habe: nicht $x^{k-1}$ integrieren, sondern $x^{k-1}$ ableiten und $\bruch{x}{\wurzel{1-x^{2}} }}$ integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 04.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
Ich habe jetzt alle Hinweise befolgt und komme nach einmaligem partiellen ableiten auf:
[mm] -\wurzel{1-x^{2}}*x^{k-1}+\integral_{}^{}{\wurzel{1-x^{2}}*(k-1)*x^{k-2}}
[/mm]
= [mm] -\wurzel{1-x^{2}}*x^{k-1}+(k-1)\integral_{}^{}{\wurzel{1-x^{2}}*x^{k-2}}
[/mm]
jetzt habe ich ja k-1 und k-2 stehen. dass sieht ja schon aus wie eine rekursive formel. reicht das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Fr 04.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe jetzt alle Hinweise befolgt und komme nach
> einmaligem partiellen ableiten auf:
>
> [mm]-\wurzel{1-x^{2}}*x^{k-1}+\integral_{}^{}{\wurzel{1-x^{2}}*(k-1)*x^{k-2}}[/mm]
>
> =
> [mm]-\wurzel{1-x^{2}}*x^{k-1}+(k-1)\integral_{}^{}{\wurzel{1-x^{2}}*x^{k-2}}[/mm]
>
> jetzt habe ich ja k-1 und k-2 stehen. dass sieht ja schon
> aus wie eine rekursive formel. reicht das so?
Fast. Du musst noch auf die ursprüngliche Form des Integrals mit der Wurzel im Nenner kommen. Deswegen der letzte Hinweis: ersetze
[mm] \wurzel{1-x^{2}} = \bruch{1-x^2}{\wurzel{1-x^{2}}} [/mm]
und multipliziere den Zähler aus.
Viele Grüße
Rainer
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