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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Hollo |
| Aufgabe | [mm] f_{k}(x)=x*(ln(x)-k)^{2}
[/mm]
Ermitteln Sie für das Integral [mm] I_{n}= \integral_{0}^{e^{k}}{x*((ln(x)-k)^{n} dx} [/mm] (mit n [mm] \in \IN)
[/mm]
eine Rekursionsformel und berechnen Sie damit die Maßzahl der Fläche, die der Graph von [mm] f_{k} [/mm] mit der X-Achse einschließt! |
Hallo zusammen!
Also erst mal weil ich ein Erst-Poster bin folgender Satz: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe (auf ganz komplizierte Weise glaub ich) zunächst mal [mm] I_{0}, I_{1} [/mm] und [mm] I_{2} [/mm] berechnet. Und damit hab ich die Fläche, die der Graph von [mm] f_{k} [/mm] mit der X-Achse einschließt ja auch schon. Nur was es mit dieser Rekursionsformel auf sich hat weiß ich nicht.. Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Hier sind meine bisherigen Rechnungen (Die Grenzen lass ich bei der Stammfunktion weg, weil ich nicht weiß wie man das eingibt, falls es denn geht):
[mm] I_{0}=\integral_{0}^{e^{k}}{x*((ln(x)-k)^{0} dx}= \integral_{0}^{e^{k}}{x dx}=[ \bruch{1}{2}* x^{2}]= \bruch{1}{2}e^{2k}
[/mm]
[mm] I_{1}=\integral_{0}^{e^{k}}{x*((ln(x)-k)^{1} dx}=\integral_{0}^{e^{k}}{x*ln(x)-k*x dx}=[ \bruch{1}{2}* x^{2}*ln(x)]-\integral_{0}^{e^{k}}{\bruch{1}{2}*x dx}-\integral_{0}^{e^{k}}{k*x dx}=
[/mm]
[ [mm] \bruch{1}{2} x^{2}(ln(x)-\bruch{1}{2}-k]=\bruch{1}{2}e^{2k}(k-k-\bruch{1}{2})=-\bruch{1}{4}e^{2k}
[/mm]
[mm] I_{2}=\integral_{0}^{e^{k}}{x*((ln(x)-k)^{2} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{e^{k}}{x*ln^{2}(x)-2kx*ln(x)+k^{2}x dx}
[/mm]
=-2k*[ [mm] \bruch{1}{2}x^{2}(ln(x)-\bruch{1}{2})-\bruch{1}{4}kx^{2}]+\integral_{0}^{e^{k}}{x*ln^{2}(x) dx}
[/mm]
[mm] =[-kx^{2}(ln(x)- \bruch{1}{2}- \bruch{1}{2}k)]+\integral_{0}^{e^{k}}{x*ln^{2}(x) dx}
[/mm]
[mm] =[-kx^{2}(ln(x)- \bruch{1}{2}- \bruch{1}{2}k)]+[ln^{2}(x)*\bruch{1}{2}x^{2}]-\integral_{0}^{e^{k}}{x*ln(x) dx}
[/mm]
[mm] =[-kx^{2}(ln(x)- \bruch{1}{2}- \bruch{1}{2}k)+ln^{2}(x)*\bruch{1}{2}x^{2}-\bruch{1}{2}x^{2}(ln(x)-\bruch{1}{2})]
[/mm]
[mm] =[kx^{2}(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}k-ln(x))+\bruch{1}{2}x^{2}(ln^{2}(x)-ln(x)+\bruch{1}{2})]
[/mm]
[mm] =ke^{2k}(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}k-k)+\bruch{1}{2}e^{2k}(k^{2}-k+\bruch{1}{2})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4}e^{2k}
[/mm]
So man bekommt ja eigentlich ein schönes Ergebnis für die Fläche. Müsste auch stimmen denk ich mal.. Jetzt fehlt mir nur noch die Rekursionsformel oder ein Weg diese zu berechnen.
Ciao Hollo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Fr 21.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hollo
Du hasts doch beinahe schon! Nur war es etwas ungeschickt, [mm] (lnx-k)^{n} [/mm] auszumultiplizieren.
Wenn du bei der partiellen Integration nicht [mm] ln^{n}(x) [/mm] als u nimmst, sondern [mm] (ln(x)-k)^{n} [/mm] hast du immer nur ein Integral indem dann statt [mm] x*(lnx-k)^{n} x*(lnx-k)^{n-1} [/mm] . da du es für n=1 schon hast ist das praktisch schon die rekursionsformel, den die schließt ja von n-1 auf n!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Hollo |
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort!!
Aber irgendwie versteh ich das immer noch nicht so ganz.. Was hat dieser Term hier zu bedeuten $ [mm] x\cdot{}(lnx-k)^{n} x\cdot{}(lnx-k)^{n-1} [/mm] $ ? Und was bringt es mir das ich [mm] I_{1} [/mm] ausgerechnet habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Hollo,
leduart meinte, wenn du bei der p.I. v'=x und [mm] u=(\ln(x)-k)^n [/mm] wählst, wirst du aus dem Integand [mm] x*(\ln(x)-k)^n [/mm] ein Integrand der Form [mm] x*(\ln(x)-k)^{n-1} [/mm] erhalten. Was nach einmaligem part. Integrieren als Term stehen bleibt, ist dann bereits die Rekursionsformel, weil du den Term von n auf n-1 zurückführst. Was du dann noch brauchst ist der Rekursionsstart. Das dürfte dann [mm] I_0 [/mm] sein.
L G walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Hollo |
Tut mir leid ich steh ein bisschen auf dem Schlauch.. Aber wie genau lautet denn jetzt die Rekursionsformel? Vielleicht versteh ich dann auch wie ihr drauf gekommen seid.. Und wenn [mm] u(x)=(ln(x)-k)^{n} [/mm] dann ist u'(x) doch [mm] \bruch{n}{x}*(ln(x)-k)^{n-1} [/mm] und nicht einfach nur [mm] (ln(x)-k)^{n-1}
[/mm]
Ich glaub ich verzweifle..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Fr 21.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Hollo
$ [mm] \integral{x*(lnx-k)^n dx}$
[/mm]
[mm] $u=(lnx-k)^{n}$ u'=n/x*(lnx-k)^{n-1}
[/mm]
v'=x [mm] v=1/2x^{2}
[/mm]
$ [mm] \integral{x*(lnx-k)^n dx}=1/2x^2*(lnx-k)^n- [/mm] n/2*$ [mm] \integral{x*(lnx-k)^(n-1) dx}$
[/mm]
d,h. [mm] $I_n=1/2x^2*(lnx-k)^n -n/2*I_{n-1}$
[/mm]
das ist ne Rekursionsformel für [mm] I_{n}, [/mm] dazu musst du nur noch [mm] I_{0} [/mm] angeben!
Du solltest auch ensehen, dass du durch sukzessifes Einsetzen immer eins weiter runter kommst und damit fertig bist.
Ich hatte das so kurz geschrieben, weil du ja beinahe das bis [mm] I_{2} [/mm] gemacht hattest! Also nicht verzweifeln!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Hollo |
Dann hatte ich es ja echt schon fast...
Vielen Dank für euren Einsatz!! Habt mir echt weiter geholfen..
Gruß Hollo
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