Rekursionsformel für Integrale < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Sa 04.02.2006 | | Autor: | kuminitu |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Rekursionsformel für die Integrale
[mm] j_{n}= \integral_{1}^{e}{(ln(x))^{n} dx}
[/mm]
Berechnen Sie J1, sowie daraus J2, . . . , J5.
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Hallo,
habe mir eine formel überlegt die das Integral bis n brechnet, und die sieht auch ganz gut aus, ist aber leider nicht rekursiv:
x *( [mm] \summe_{n=k}^{n}((-1)^{k+1}* \bruch{n!}{k!}(ln(x)^{n})+n!*(-1)^{n})
[/mm]
Hab mir ziemlich lange den Kopf darüber zerbrochen, bin aber auf keine rekursive Lösung gekommen!
Freue mich über jede Hilfe!
MFG
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Hallo kuminitu,
Deine direkte Formel ist mir zu kompliziert ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
[mm]j_{n}= \integral_{1}^{e}{(ln(x))^{n} dx}[/mm]
Versuch doch mal mit partieller Integration. Es müsste ja dann rechts
[mm]\integral_{1}^{e}{(ln(x))^{n-1} dx}[/mm] stehen.
Alles klar?
gruß
mathemaduenn
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Und das ist die Formel, die du suchst (du solltest dich übrigens festlegen, ob du jetzt ein kleines oder großes J verwenden willst) - man kann sogar mit [mm]n=0[/mm] beginnen:
[mm]j_0 = \operatorname{e} - 1[/mm]
[mm]j_n = \operatorname{e} - n \, j_{n-1} \ \ \mbox{für} \ n \geq 1[/mm]
Für den Beweis beachte den Hinweis von mathemaduenn. Verwende bestimmte (!!!) partielle Integration.
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