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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:18 Di 08.01.2008 | | Autor: | Namisan |
| Aufgabe | Finden Sie die Rekursionsformeln zur Berechnung der folgenden Integrale:
a) [mm] \integral_{a}^{b}{1/(1+x^{2})^{n} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{a}^{b}{1/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm] |
Hallo,
Prinzipiel habe ich verstanden wie das mit der Rekursionsformel funktioniert.
Erst mal brauche ich zwei start Werte [mm] I_{0} [/mm] und [mm] I_{1} [/mm] , und aus diesen beiden ergibt sich dann [mm] I_{2}. [/mm] D.h ein Wert ergibt sich immer aus den beiden vorherigen Werten.
So.
Nun kann ich sehen das das Integral aus a) für gearade n gilt und das Integral aus b) für ungerade Werte.
Wenn ich also [mm] I_{n} [/mm] bestimme , könnte ich daraus geschickt beide Rekusrionsformeln herleiten. Dies hat unser Prof gesagt.
Also:
[mm] I_{n}= \integral_{a}^{b}{(1+x^{2})/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx}
[/mm]
Daraus kann ich machen :
[mm] I_{n}= I_{n}= \integral_{a}^{b}{1/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{x^{2}/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx}
[/mm]
Wobei das ertse Integral dann mein [mm] I_{n+2} [/mm] ist und ich nur noch das zweite Integral berechnen muss, mittels Partieller Integration.
So und genau da fängts an zu hacken.
Wenn ich nun [mm] \integral_{a}^{b}{x^{2}/(\wurzel{1+x^{2}})^{n+2}dx} [/mm] nehme ich für die Partielle Integration
u= [mm] 1/(\wurzel{1+x^{2}}^{n+2}) [/mm] nehme und für v´ = [mm] x^{2}
[/mm]
dann kriege ich für v=1/3 [mm] *x^{3} [/mm] raus
und für u´= - [(n+2)*x/( [mm] \wurzel{1+x^{2}}^{n+2}*(1+x^{2}))] [/mm] mittels Maple
wenn ich das in die Formel für partielle Integration einsetze folgt.
1/3 [mm] *x^{3} [/mm] * [mm] 1/\wurzel{1+x^{2}}^{n+2}| [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{ - [(n+2)*x/( \wurzel{1+x^{2}}^{n+2}*(1+x^{2}))] * 1/3 *x^{3}dx}
[/mm]
Tja . Und jetzt komme ich nicht weiter.
Kann mir jemand sagen ob das korrekt ist und wie ich weiter machen soll?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:44 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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