Rekursionsgleichung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mo 10.04.2006 | | Autor: | Jacek |
| Aufgabe | Folge ( [mm] x_{i}) [/mm] mit i [mm] \in \IN [/mm] (inkl. 0)! von komplexen Zahlen erfülle für i [mm] \ge [/mm] 0 die lineare Rekursionsgleichung:
[mm] x_{i+2} [/mm] = a [mm] x_{i} [/mm] + b [mm] x_{i+1}
[/mm]
mit komplexen Zahlen a,b und mit a [mm] \not= [/mm] 0. Wir bilden das Polynom
f = 1 - b t - a [mm] t^{2} [/mm] .
Sei
f = (1 - ut) (1 - vt)
mit komplexen Zahlen u und v.
->a) sei u [mm] \not= [/mm] v. Dann gilt:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i}+ c_{2} v^{i}
[/mm]
mit geeigneten [mm] c_{1}, c_{2}. [/mm] Ist k < m und [mm] u^{m-k} \not= v^{m-k} [/mm] , so ist x durch die Vorgabe von [mm] x_{k}, x_{m} [/mm] eindeutig bestimmt. Insbesondere gilt:
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1} - vx_{0}}{u - v} [/mm] und
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{ux_{0} - x_{1}}{u - v}.
[/mm]
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Guten Tag,
habe dieses gegeben. Hinzu kommt der Beweis für dieses Teilstück:
" a) die Ähnlichkeit der Aufgabe mit linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten verleitet zu dem Ansatz [mm] x_{i} [/mm] = [mm] w^{i} [/mm] mit noch zu bestimmendem w. Wir erhalten:
0 = [mm] w^{i+2} [/mm] (1 - a [mm] w^{-2} [/mm] - b [mm] w^{-1}) [/mm] = [mm] w^{i+2} [/mm] f ( [mm] \bruch{1}{w}).
[/mm]
Dies wird erfüllt durch w = u und w = v. Dann ist auch
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i} [/mm] + [mm] c_{2} v^{i} [/mm] "
Das ist ein Teil des Beweises bei dem ich stocke.
Wieso wird die Gleichung im Beweis erfüllt duch w=u & w=v?
Wie komme ich darauf?
-Und wie komme ich auf die Gleichung:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i} [/mm] + [mm] c_{2} v^{i} [/mm] ?
Könnte mir bitte jemand helfen?
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Du hast folgendes gegeben:
Folge ( [mm]x_{i})[/mm] mit i [mm]\in \IN[/mm] (inkl. 0)! von komplexen
> Zahlen erfülle für i [mm]\ge[/mm] 0 die lineare
> Rekursionsgleichung:
> [mm]x_{i+2}[/mm] = a [mm]x_{i}[/mm] + b [mm]x_{i+1}[/mm]
> mit komplexen Zahlen a,b und mit a [mm]\not=[/mm] 0. Wir bilden das
> Polynom
> f = 1 - b t - a [mm]t^{2}[/mm] .
> Sei
> f = (1 - ut) (1 - vt)
> mit komplexen Zahlen u und v.
>So hier liegt der Punkt. Die Polynome hängen von t ab, können also als
[mm] f(t)=1-bt-a [/mm] bzw. [mm] f(t)= (1-vt)(1-ut), u,v \in \IC [/mm]
> ->a) sei u [mm]\not=[/mm] v. Dann gilt:
> [mm]x_{i}[/mm] = [mm]c_{1} u^{i}+ c_{2} v^{i}[/mm]
> mit geeigneten [mm]c_{1}, c_{2}.[/mm]
> Ist k < m und [mm]u^{m-k} \not= v^{m-k}[/mm] , so ist x durch die
> Vorgabe von [mm]x_{k}, x_{m}[/mm] eindeutig bestimmt. Insbesondere
> gilt:
> [mm]c_{1}[/mm] = [mm]\bruch{x_{1} - vx_{0}}{u - v}[/mm] und
> [mm]c_{2}[/mm] = [mm]\bruch{ux_{0} - x_{1}}{u - v}.[/mm]
>
> " a) die Ähnlichkeit der Aufgabe mit linearen
> Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten verleitet zu dem Ansatz [mm]x_{i}[/mm] = [mm]w^{i}[/mm] mit
> noch zu bestimmendem w. Wir erhalten:
>
> 0 = [mm]w^{i+2}[/mm] (1 - a [mm]w^{-2}[/mm] - b [mm]w^{-1})[/mm] = [mm]w^{i+2}[/mm] f (
> [mm]\bruch{1}{w}).[/mm]
>
> Dies wird erfüllt durch w = u und w = v. Dann ist auch
> Setz in das Polynom [mm]w^{i+2}[/mm] [mm]f(\bruch{1}{w}).[/mm] einfach mal für w u ein, dann erhälst du:
0=[mm]w^{i+2}[/mm] f ( [mm]\bruch{1}{u}).[/mm]=[mm] (1-v*1/u)(1-u*1/u)*w^{i+2}[/mm]=0, denn [mm]w^{i+2}[/mm] f ([mm]\bruch{1}{w})=w^{i+2} (1-v*1/w)(1-u*1/w)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Di 11.04.2006 | | Autor: | Jacek |
Genau Du hast recht! Danke, aber dennoch habe ich die Frage noch,
wie komme ich auf die Gleichung:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i}+ c_{2} v^{i} [/mm] ?
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Hallo!
Für Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten gilt grundsätzlich: Hat das charakteristische Polynom paarweise verschiedene Nullstellen [mm] $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, [/mm] so ist die allgemeine Lösung [mm] $x_i=c_1\lambda_1^i+\dots [/mm] + [mm] c_n\lambda_n^i$.
[/mm]
Kennst du dieses Konzept?
Hier wird das etwas anders gemacht, es wird statt dem charakteristischen Polynom [mm] $\chi$ [/mm] das Polynom [mm] $f(t):=t^n\chi\left(\frac 1t\right)$ [/mm] betrachtet. Dafür wählt man nicht die Nullstellen dieses Polynoms aus, sondern deren Reziproke. Am Ende kommt das aber auf das Gleiche hinaus.
Gruß, banachella
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