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Hier ist meine Aufgabe:
Geben Sie für eine Folge das allgemeine Glied [mm] a_n [/mm] sowie eine Rekursionsgleichung an.
a)-1/2,-1/3,-1/4,-1/5,-1/6,...
b)1,8,27,64,...
c)1,3,7,15,31,63
d)1,-2,3,-4,5,-6,...
e)16,-8,4,-2,1
f)-3,-11,19
Ich weiss gar nicht wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll.Könnt ihr mir bitte sagen,wie ich dabei vorgehen soll,damit ich alleine weitermachen kann.Ich will es alleine schaffen mit eurer Hilfe und bin nicht zu faul die Aufgabe zu machen.Ich brauche sozusagen einen kleinen Denkanstoß.
Danke für eure Hilfe und liebe Grüße
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Hallo Mathe_LK_Girl,
> Hier ist meine Aufgabe:
> Geben Sie für eine Folge das allgemeine Glied [mm]a_n[/mm] sowie
> eine Rekursionsgleichung an.
>
> a)-1/2,-1/3,-1/4,-1/5,-1/6,...
Also das allgemeine Glied wäre hier [mm]-\tfrac{1}{n+1}[/mm] mit [mm]n \in \mathbb{N}[/mm]. (ich hoffe ich habe jetzt richtig interpretiert was hier mit "allgemeinem Glied" gemeint ist.)
Wegen [mm]-\tfrac{k}{i+1} = -\tfrac{1}{i+2} \gdw (i+2)k = i+1 \gdw k = \tfrac{i+1}{i+2}[/mm] gilt für die Rekursionsgleichung:
[mm]a_1 := -\frac{1}{2}[/mm]
[mm]a_{i+1} := a_i\cdot{\frac{i+1}{i+2}}[/mm] für alle [mm]i \ge 1[/mm].
Also die Lösungsidee war hier einfach nur einen Faktor [mm]k[/mm] zu finden, welcher quasi den "Übergang" von einem Glied der Folge zum nächsten darstellt: [mm]a_{i+1} = a_i\cdot{k}[/mm].
Bei diesen Aufgaben geht es also darum eine Gesetzmäßigkeit in den vorgegebenen Folgegliedern zu erkennen, und dann eine rekursive Beziehung der Form:
[mm]a_1 := \texttt{''Startwert''}[/mm]
[mm]a_{i+1} := \operatorname{Rechenvorschrift}\left(a_i\right)[/mm]
anzugeben (siehe erste Aufgabe als Beispiel.)
> b)1,8,27,64,...
Stelle diese Zahlen durch einen gemeinsamen Exponenten dar. Aus dem Exponenten und den Basen zum Exponenten ergibt sich die rekursive Vorschrift.
> c)1,3,7,15,31,63
Achte auf die Abstände... und danach auf die Exponenten.
> e)16,-8,4,-2,1
mag sein, daß man hier eine umgekehrt laufende Rekursion angeben muß:
[mm]a_1 := \dotsb[/mm]
[mm]a_{i-1} := \operatorname{Vorschrift}\left(a_i\right)[/mm]
> f)-3,-11,19
Also hier ist wieder der Abstand zwischen den Zahlen wichtig. Was das Muster --+ angeht, so soll es sich vielleicht die ganze Zeit wiedeholen oder so... . Also: -3,-11,19,-27,-35,43,...
[mm]a_1 := -3[/mm]
und für alle [mm]i \ge 1[/mm]:
[mm]a_{i+1} := \begin{cases}
-\left|a_i\right|-8,&i+1\texttt{ ist durch }3\texttt{ mit Rest }1\texttt{ oder }2\texttt{ teilbar}\\
\left(a_i-8\right)\cdot{(-1)},&i+1\texttt{ ist restlos durch }3\texttt{ teilbar}
\end{cases}[/mm]
Grüße
Karl
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