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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mo 15.01.2018 | | Autor: | asg |
Hallo zusammen,
was ist besser? Eine Folge als
1. [mm] $a_n [/mm] = ...$ oder
2. [mm] $a_{n+1} [/mm] = ...$
anzugeben?
Beispiel:
i)
[mm] $a_0 [/mm] = 1; [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{a_{n-1}}{2} [/mm] oder
[mm] $a_0 [/mm] = 1; [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{a_n}{2}
[/mm]
ii)
[mm] $a_0 [/mm] = 0; [mm] a_n [/mm] = [mm] a_{n-1} [/mm] + 3 oder
[mm] $a_0 [/mm] = 0; [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n [/mm] + 3
Für mich ist die 1. Variante intuitiver, aber ich vermute, die 2. Variante ist die gängigere.
Gibt es Fälle, in denen man eine der Varianten nicht verwenden kann?
Danke
Viele Grüße
Asg
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Hiho,
es gibt keine "bessere" Variante.
Beide Varianten sind gleichwertig, denn ist
[mm] $a_n [/mm] = [mm] f(a_{n-1})$
[/mm]
für eine beliebige Funktion f so ergibt dieselbe Gleichung durch die Substitution $n = k+1$
[mm] $a_{k+1} [/mm] = [mm] f(a_{k})$
[/mm]
die von dir erwähnte "andere" Form.
Letztendlich sind beide äquivalent und man kann nach eigenem Belieben entscheiden, welche man wählt.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Di 16.01.2018 | | Autor: | asg |
Hallo Gono,
> es gibt keine "bessere" Variante.
> Beide Varianten sind gleichwertig, denn ist
>
> [mm]a_n = f(a_{n-1})[/mm]
>
> für eine beliebige Funktion f so ergibt dieselbe Gleichung durch die Substitution [mm]n = k+1[/mm]
>
> [mm]a_{k+1} = f(a_{k})[/mm]
>
> die von dir erwähnte "andere" Form.
Ah! ok - daran hatte ich nicht gedacht.
> Letztendlich sind beide äquivalent und man kann nach eigenem Belieben entscheiden, welche man wählt.
Gut, dass es mir nun klar geworden, da ich sonst immer etwas unsicher war.
Dankeschön und viele Grüße
Asg
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Du musst aber darauf achten, wo du mit deiner Zählung anfängst.
Beispiel:
[mm] a_0=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}=3a_n [/mm] für [mm] n\in \IN [/mm] funktioniert nicht, denn dann ginge es weiter mit [mm] a_2=3a_1, [/mm] aber [mm] a_1 [/mm] wäre nicht definiert.
[mm] a_{n}=3a_{n-1} [/mm] würde funktionieren.
Im obigen Fall könntst du aber mit
[mm] a_1=1
[/mm]
[mm] a_{n+1}=3a_n [/mm] für [mm] n\in \IN [/mm]
statt mit [mm] a_0 [/mm] anfangen, und es würde gehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Di 16.01.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo HJKweseleit,
> Du musst aber darauf achten, wo du mit deiner Zählung
> anfängst.
>
> Beispiel:
>
> $ [mm] a_0=1 [/mm] $
> $ [mm] a_{n+1}=3a_n [/mm] $ für $ [mm] n\in \IN [/mm] $ funktioniert nicht, denn dann
> ginge es weiter mit $ [mm] a_2=3a_1, [/mm] $ aber $ [mm] a_1 [/mm] $ wäre nicht
> definiert.
das ist so nicht ganz richtig. Die zentrale Frage ist (wie so oft), was man unter [mm] \IN [/mm] verstehen möchte. Gehört also die 0 zu den natürlichen Zahlen oder nicht.
Tut sie dies (wie in der Analysis meiner Kenntnis nach üblich), dann gibt es kein Problem.
Tut sie es nicht, dann tritt theoretisch das von dir geschilderte Problem auf, wobei für diesen Fall der Index 0, also die Bezeichnung [mm] a_0 [/mm] für das Anfangsglied, ziemlich sinnfrei ist, denn dann würde man konsequenterweise bei 1 mit der Zählung beginnen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 17.01.2018 | | Autor: | DieAcht |
Hier stand Quark.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mi 17.01.2018 | | Autor: | Diophant |
> Seine Aussage ist richtig, denn [mm]a_2[/mm] bleibt undefiniert,
> egal ob nun die Null zu /N gehört oder nicht.
Hä?
[mm] a_0=1
[/mm]
[mm] a_1=3*a_0=3
[/mm]
[mm] a_2=3*a_1=9
[/mm]
?
EDIT: Ok, obiges war ein Missverständnis.
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