Rekursive Folge < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 22.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Gegeben ist die rekursive Folge [mm] (an)_{n\ge0} [/mm] definiert durch [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 1-\bruch{2}{a_{n}+2} [/mm] , [mm] a_{0}=1
[/mm]
a) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm] (an)_{n\ge0} [/mm] monoton fallend ist
b) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm] (an)_{n\ge0} [/mm] nach unten durch 0 beschränkt ist
c) Begründe, dass [mm] (an)_{n\ge0} [/mm] konvergiert und bestimme den Grenzwert |
Hallo,
da ich mir nicht sicher bin, ob ich richtig starte, hier einmal mein bisheriger Ansatz:
a)
IA: [mm] a_{n}\ge a_{n+1} \Rightarrow a_{0}\ge a_{1} \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \ge \bruch{1}{3}
[/mm]
IV: [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 1-\bruch{2}{a_{n}+2} [/mm] gilt für ein [mm] a_{n} \in \IN \setminus [/mm] {-2}
IS: an = an +1 [mm] \Rightarrow a_{n+1} \ge a_{n+2} [/mm] ........
Kann man das so machen, oder ist das die völlig falsche Richtung?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 22.01.2017 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das Vorgehen ist richtig.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mo 23.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die rekursive Folge [mm](an)_{n\ge0}[/mm] definiert
> durch [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]1-\bruch{2}{a_{n}+2}[/mm] , [mm]a_{0}=1[/mm]
>
> a) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm](an)_{n\ge0}[/mm]
> monoton fallend ist
> b) Zeige mit vollständiger Induktion, dass [mm](an)_{n\ge0}[/mm]
> nach unten durch 0 beschränkt ist
> Hallo,
>
> da ich mir nicht sicher bin, ob ich richtig starte, hier
> einmal mein bisheriger Ansatz:
>
> a)
Ich bin anderer Meinung als leduart.....
>
> IA: [mm]a_{n}\ge a_{n+1} \Rightarrow a_{0}\ge a_{1} \Rightarrow[/mm]
> 1 [mm]\ge \bruch{1}{3}[/mm]
Was soll das erste " [mm] \Rightarrow [/mm] " ??
beim Induktionsanfang ist zu zeigen: [mm] a_{0}\ge a_{1}. [/mm] Es is [mm] a_0=1 [/mm] und [mm] a_1= \bruch{1}{3}. [/mm] Damit ist der IA erledigt.
>
> IV: [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]1-\bruch{2}{a_{n}+2}[/mm] gilt für ein [mm]a_{n} \in \IN \setminus[/mm]
> {-2}
Das ist doch nicht die IV ! Die lautet so:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] a_{n}\ge a_{n+1}.
[/mm]
>
> IS: an = an +1 [mm]\Rightarrow a_{n+1} \ge a_{n+2}[/mm] ........
Quatsch ! Jetzt ist zu zeigen, mit Hilfe der IV:
[mm] a_{n+1} \ge a_{n+2}.
[/mm]
>
> Kann man das so machen, oder ist das die völlig falsche
> Richtung?
>
> Vielen Dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Do 26.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo fred,
hier nochmal mein neuer Lösungsvorschlag:
a)
IA: [mm] a_{0}\ge a_{1} \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \ge \bruch{1}{3}
[/mm]
IV: [mm] a_{n}\ge a_{n+1} [/mm] gilt für ein n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
IS: Zu zeigen [mm] a_{n+1}\ge a_{n+2} \Rightarrow \bruch{1}{3} \ge \bruch{1}{7}
[/mm]
b)
IA: [mm] 0\le a_{n} \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le a_{0} [/mm] = 1 [mm] \le [/mm] 1
IV: [mm] 0\le a_{n} \le [/mm] 1 gilt für ein n [mm] \in \IN_{0}
[/mm]
IS: Zu zeigen [mm] 0\le a_{n+1} \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow 0\le \bruch{1}{3}
[/mm]
c)
a:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{2}{a_{n}+2}) [/mm] = [mm] 1-\bruch{2}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+2}=1-\bruch{2}{a+2} [/mm] ==> a = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Do 26.01.2017 | | Autor: | Omega91 |
> Hallo fred,
>
> hier nochmal mein neuer Lösungsvorschlag:
>
> a)
>
> IA: [mm]a_{0}\ge a_{1} \Rightarrow[/mm] 1 [mm]\ge \bruch{1}{3}[/mm]
> IV:
> [mm]a_{n}\ge a_{n+1}[/mm] gilt für ein n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> IS: Zu zeigen
> [mm]a_{n+1}\ge a_{n+2} \Rightarrow \bruch{1}{3} \ge \bruch{1}{7}[/mm]
Wir stoppen hier mal :
welchen Sinn macht die Induktionsvoraussetzung, wenn du sie nicht bemühst ?
dein Induktionsschritt besteht darin, dass du [mm] $a_{2} \ge a_{3}$ [/mm] zeigst , was Unsinn ist !! --- du sollst zeigen : [mm] $a_{n+1} \ge a_{n+2}$ [/mm]
>
> b)
>
> IA: [mm]0\le a_{n} \le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\le a_{0}[/mm] = 1 [mm]\le[/mm] 1
> IV: [mm]0\le a_{n} \le[/mm] 1 gilt für ein n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> IS: Zu
> zeigen [mm]0\le a_{n+1} \le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow 0\le \bruch{1}{3}[/mm]
>
> c)
>
> a:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{2}{a_{n}+2})[/mm] =
> [mm]1-\bruch{2}{\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+2}=1-\bruch{2}{a+2}[/mm]
> ==> a = 0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 29.01.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
dankf für die Antwort!
Bedeutet das, dass man sagen muss
$ [mm] a_{n}\ge a_{n+1} [/mm] $
[mm] 1-\bruch{2}{a_{n}+2}\ge1-\bruch{2}{a_{n+1}+2}
[/mm]
?
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Hallo,
>
> dankf für die Antwort!
>
> Bedeutet das, dass man sagen muss
>
Bemühe dich mal in deinem eigenen Interesse um eine verständlichere Ausdrucksweise. Ich verstehe nicht, was du hier eigentlich wissen möchtest, sondern mir kommt (vielleicht unberechtigterweise) der Verdacht, dass du eine komplette Lösung sehen möchtest. Wie gesagt, dieser Verdacht mag unberechtigt sein, jedoch nährst du ihn mit solch unqualifizierten Fragen.
> [mm]a_{n}\ge a_{n+1}[/mm]
>
> [mm]1-\bruch{2}{a_{n}+2}\ge1-\bruch{2}{a_{n+1}+2}[/mm]
>
Ja, das war ja leicht bzw. selbstverständlich. Jetzt vereinfache das mal ein wenig. Subtrahiere 1, multipliziere mit (-1) (und beachte dabei, was dann mit der Relation passiert).
Wenn du soweit bist, dann setze
[mm] a_{n+1}=1-\frac{2}{a_n+2}
[/mm]
in die rechte Seite ein und vereinfache den so entstehenden Doppelbruch. Dann sieht man bereits, dass die Ungleichung für beliebige positive [mm] a_n [/mm] wahr ist. Dein Resultat hier gilt also nur vorbehaltlich der Annahme, dass b) dann auch erfolgreich gezeigt wird.
(Wie so oft bei solchen Aufgaben halte ich die Reihenfolge der beiden Aufgabenteile a) und b) für ungünstig).
Nachtrag (wichtig!):
Mein obiger Ansatz trifft die Aufgabenstellung nicht, da vollständige Induktion verlangt wird, was man hier nicht wirklich benötigt (und ich habe darauf verzichtet).
Für vollständige Induktion setze so an:
[mm] a_{n+2}\le{a_{n+1}}
[/mm]
und nimm an, dass
[mm] a_{n+1}\le{a_{n}}
[/mm]
stimmt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Mo 23.01.2017 | | Autor: | Omega91 |
Noch eine Kleinigkeit (ergänzend zu Fred) :
du schreibst :
> IV: [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]1-\bruch{2}{a_{n}+2}[/mm] gilt für ein [mm]a_{n} \in \IN \setminus[/mm]
> {-2}
>
es ist so, dass es viele Folgenglieder gibt, die keine natürlichen Zahlen sind ... also [mm] $a_{n} \in \IN\setminus \{-2\}$ [/mm] ist Unsinn -- vielmehr nimmt [mm] $a_{n}$ [/mm] reelle Werte an.
Lg
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