Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mo 19.03.2007 | | Autor: | fincher |
| Aufgabe | Zeigen Sie, daß die folgende rekursiv gegebene Folge konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert:
[mm] a_{1}=1, \forall n\in\IN: a_{n+1}=\wurzel{a_{n} + \bruch{1}{2}a_{n}^{2}}
[/mm]
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Hallo!
Habe Probleme mit der Lösung der obigen Aufgabe. Meine Vorgehensweise soweit:
1.) Nach betrachtung der ersten vier Glieder dieser Folge komme ich zunächst zu der Annahme, daß es sich hier um eine (streng) monoton steigende Folge handelt. [mm] a_{1}=1; a_{2}\approx1,22; a_{3}\approx1,41; a_{4}\approx1,54
[/mm]
2.) Mein erster Gedanke wäre die Monotonie mit Hilfe der vollständigen Induktion zu beweisen.
Induktionsbehauptung: [mm] a_{n+1}\ge a_{n}
[/mm]
Induktionsanfang: n=1: [mm] a_{2}\ge a_{1} \Rightarrow \wurzel{a_{1} + \bruch{1}{2}a_{1}^{2}}\ge a_{1} \Rightarrow \wurzel{\bruch{3}{2}}\ge [/mm] 1
Induktionsschritt: n=k: [mm] a_{k+1}\ge a_{k} [/mm] Aber an dieser Stelle fehlt mir schon jeglicher Plan wie es weiter gehen soll.
3.) Nächster Schritt wäre dann, die Beschränktheit zu beweisen, oder? Aber wie?
4.) Trotz aller bisherigen Rückschläge habe ich angenommen, daß die Folge monoton und beschränkt und daher konvergent ist. Also bestimme ich jetzt den Grenzwert. Zwischenfrage: Stimmt es dass ich die Monotonie und Beschränktheit VOR der Bestimmung des Grenzwertes beweisen muss, oder kann ich gleich den Grenzwert - wenn wie hier möglich - bestimmen und damit die vorigen zwei Beweise auslassen?
Ich nehme also an, die Folge konvergiert gegen a: [mm] (a_{n})\to [/mm] a [mm] \Rightarrow \wurzel{a_{n} + \bruch{1}{2}a_{n}^{}2} \to [/mm] a
Durch Grenzbetrachtung ergibt sich also: [mm] \wurzel{a + \bruch{1}{2}a^{2}}=a \Rightarrow [/mm] a + [mm] \bruch{1}{2}a^{2}=a^{2} \Rightarrow -\bruch{1}{2}a^{2}+a=0
[/mm]
Die Lösungen dieser Quadratischen Gleichung lauten: [mm] a_{L1}=0 [/mm] und [mm] a_{L2}=2
[/mm]
[mm] a_{n} \ge [/mm] 1 (Sollte ich das beweisen?) [mm] \Rightarrow [/mm] Grenzwert a=2.
Bin für jegliche Anmerkungen, Verbesserungen, Ergänzungen und Korrekturen dankbar!
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mo 19.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Ideen sind richtig.
da du den GW schon richtig hast, weisst du an<2 und an>1
das beides kombiniert beweisen.
Tip zeige [mm] a_{n=1}^2/a_n^2>1 [/mm] fuer das monotone steigen. dabei benutzt du [mm] a_n<2 [/mm] was man leicht durch vollst induktion zeigen kann (auch hier erst quadrieren!)
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 19.03.2007 | | Autor: | fincher |
Also ... erst mal Danke für die rasche Antwort!
> da du den GW schon richtig hast, weisst du an<2 und an>1
> das beides kombiniert beweisen.
D.h. also für mich es reicht nicht einfach den Grenzwert zu bestimmen um damit auch die Konvergenz bewiesen zu haben?
Wie beweise ich nun [mm] a_{n}<2 [/mm] und [mm] a_{n}>1? [/mm] Ich habs schon probiert, komme aber auf keinen grünen Zweig.
> Tip zeige [mm] a_{n=1}^2/a_n^2>1 [/mm] fuer das monotone steigen.
Meinst du [mm] \bruch{a_{1}^{2}}{a_{n}^{2}}>1 [/mm] oder [mm] \bruch{a_{n-1}^{2}}{a_{n}^{2}}>1 [/mm] ? Wenn du zweiters meinst, sollte es nicht [mm] \bruch{a_{n-1}^{2}}{a_{n}^{2}}<1 [/mm] heissen? Hier scheitere ich bei der vollständigen Induktion wiedermal beim Induktionsschritt.
Bitte um erneute Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 19.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Also ... erst mal Danke für die rasche Antwort!
>
> > da du den GW schon richtig hast, weisst du an<2 und an>1
> > das beides kombiniert beweisen.
>
> D.h. also für mich es reicht nicht einfach den Grenzwert zu
> bestimmen um damit auch die Konvergenz bewiesen zu haben?
> Wie beweise ich nun [mm]a_{n}<2[/mm] und [mm]a_{n}>1?[/mm] Ich habs schon
> probiert, komme aber auf keinen grünen Zweig.
>
>
> > Tip zeige [mm]a_{n=1}^2/a_n^2>1[/mm] fuer das monotone steigen.
>
> Meinst du [mm]\bruch{a_{1}^{2}}{a_{n}^{2}}>1[/mm] oder
> [mm]\bruch{a_{n-1}^{2}}{a_{n}^{2}}>1[/mm] ? Wenn du zweiters meinst,
> sollte es nicht [mm]\bruch{a_{n-1}^{2}}{a_{n}^{2}}<1[/mm] heissen?
tut mir leid, = und + sind bei mir auf derselben Taste, natuerlich
[mm]\bruch{a_{n+1}^{2}}{a_{n}^{2}}>1[/mm]
[mm]\bruch{a_{n+1}^{2}}{a_{n}^{2}}=\bruch{1}{a_n}+\bruch{1/2}>1[/mm]
wegen [mm] a_n<2, \bruch{1}{a_n}>\bruch{1}{2}
[/mm]
und [mm] a_{n+1}<2 [/mm] folgt wie disap gezeigt hat direkt durch einsetzen von an<2
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Mo 19.03.2007 | | Autor: | Disap |
> Zeigen Sie, daß die folgende rekursiv gegebene Folge
> konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert:
> [mm]a_{1}=1, \forall n\in\IN: a_{n+1}=\wurzel{a_{n} + \bruch{1}{2}a_{n}^{2}}[/mm]
>
> Hallo!
Hi!
Ich würde das ganze so angehen:
Grenzwert:
[mm] $\lim_{n\to\infty} a_{n+1} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} a_n [/mm] = z$
[mm] $\Rightarrow z=\wurzel{z + \bruch{1}{2}z^{2}} [/mm] $ quadrieren
[mm] $z^2 [/mm] = z+ 0.5 [mm] z^2$
[/mm]
[mm] $0.5z^2-z [/mm] = 0$
[mm] $z^2-2z [/mm] = z(z-2)=0 [mm] \Rightarrow z_1 [/mm] = 0, [mm] z_2=2$
[/mm]
Monotonie:
[mm] a_{n+1} \ge a_n
[/mm]
Vollständige Induktion nach n
IA: n = 1
[mm] $a_{1+1}=\wurzel{a_{1} + \bruch{1}{2}a_{1}^{2}} [/mm] $
[mm] $a_{2}=\wurzel{1 + \bruch{1}{2}1^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{1.5} [/mm] $
[mm] a_2 [/mm] > [mm] a_1
[/mm]
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n+1} + \bruch{1}{2}a_{n+1}^{2}} [/mm] > [mm] \wurzel{a_{n} + \bruch{1}{2}a_{n}^{2}} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] $
Beschränktheit:
Behauptung: Die Folge ist nach oben beschränkt [siehe oben, z=2]
Beweis mit vollständiger Induktion nach n
IA: n=1
[mm] a_1 [/mm] = 1 < 2
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n} + \bruch{1}{2}a_{n}^{2}} [/mm] < [mm] \wurzel{2 + \bruch{1}{2}2^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + \bruch{1}{2}4} [/mm] = [mm] \wurzel{4}= [/mm] 2 $
Die Folge ist also nach oben Beschränkt, die Folge konvergiert auf Grund von Monotonie und beschränktheit, konkret: konvergiert gegen +2, da die Lösung 0 keinen Sinn macht (weil [mm] a_1 [/mm] ja schon gleich 1 ist und monoton steigend, geht also nicht)
[mm] \Box
[/mm]
Mal sehen, ob ich zu deinen Fragen auch noch etwas sagen kann:
> Habe Probleme mit der Lösung der obigen Aufgabe. Meine
> Vorgehensweise soweit:
>
> 1.) Nach betrachtung der ersten vier Glieder dieser Folge
> komme ich zunächst zu der Annahme, daß es sich hier um eine
> (streng) monoton steigende Folge handelt. [mm]a_{1}=1; a_{2}\approx1,22; a_{3}\approx1,41; a_{4}\approx1,54[/mm]
>
> 2.) Mein erster Gedanke wäre die Monotonie mit Hilfe der
> vollständigen Induktion zu beweisen.
> Induktionsbehauptung: [mm]a_{n+1}\ge a_{n}[/mm]
> Induktionsanfang:
> n=1: [mm]a_{2}\ge a_{1} \Rightarrow \wurzel{a_{1} + \bruch{1}{2}a_{1}^{2}}\ge a_{1} \Rightarrow \wurzel{\bruch{3}{2}}\ge[/mm]
> 1
> Induktionsschritt: n=k: [mm]a_{k+1}\ge a_{k}[/mm] Aber an dieser
> Stelle fehlt mir schon jeglicher Plan wie es weiter gehen
> soll.
>
> 3.) Nächster Schritt wäre dann, die Beschränktheit zu
> beweisen, oder? Aber wie?
Also eine Möglichkeit, habe ich dir ja beschrieben. Aber du hast das schon sehr gut gelöst und tolle Einfälle gehabt. Leider hat es dann in der Umsetzung etwas gehapert, aber wenn man so etwas zum ersten Mal macht, ist das ganz normal. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> 4.) Trotz aller bisherigen Rückschläge habe ich angenommen,
> daß die Folge monoton und beschränkt und daher konvergent
> ist. Also bestimme ich jetzt den Grenzwert. Zwischenfrage:
> Stimmt es dass ich die Monotonie und Beschränktheit VOR der
> Bestimmung des Grenzwertes beweisen muss, oder kann ich
> gleich den Grenzwert - wenn wie hier möglich - bestimmen
> und damit die vorigen zwei Beweise auslassen?
Nein!!!! Die Beweise darfst du auf gar keinen Fall auslassen. Du musst natürlich zeigen, dass der Grenzwert existiert (durch Beschränktheit und Monotonie). Aber du kannst zu erst den Grenzwert berechnen und dann behaupten, die Folge wäre beschränkt, so wie ich das gemacht habe. das Z, wie ich es genannt habe, kannst du am besten durch einen griechischen Buchstaben ersetzen, das liest sich dann mega wichtig. Ich hatte bloss keine Lust, das in TeX umzusetzen....
> Ich nehme also an, die Folge konvergiert gegen a:
> [mm](a_{n})\to[/mm] a [mm]\Rightarrow \wurzel{a_{n} + \bruch{1}{2}a_{n}^{}2} \to[/mm]
> a
> Durch Grenzbetrachtung ergibt sich also: [mm]\wurzel{a + \bruch{1}{2}a^{2}}=a \Rightarrow[/mm]
> a + [mm]\bruch{1}{2}a^{2}=a^{2} \Rightarrow -\bruch{1}{2}a^{2}+a=0[/mm]
>
> Die Lösungen dieser Quadratischen Gleichung lauten:
> [mm]a_{L1}=0[/mm] und [mm]a_{L2}=2[/mm]
> [mm]a_{n} \ge[/mm] 1 (Sollte ich das beweisen?) [mm]\Rightarrow[/mm]
> Grenzwert a=2.
Jau, stimmt. Und damit hast'e die Aufgabe ja quasi alleine gelöst :) Fehlt halt noch Beschränktheit und Monotonie.
Wie dem auch sei: hast du klasse berechnet!
> Bin für jegliche Anmerkungen, Verbesserungen, Ergänzungen
> und Korrekturen dankbar!
>
>
> P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Viele Grüße
Disap
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