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Hallo, habe hier ein völliges verständnisproblem mit folgender aufgabe. vielleicht kann ja jemand die schritt näher erläuert und wieso man so vorgeht.
Aufgabe:
Sei x [mm] \in \IR. [/mm] Die Folge [mm] (x_n)_{n \in \IN} [/mm] werde rekursiv wie folgt definiert:
[mm] x_0=x, x_{n+1}=\bruch{x_n}{1+\wurzel{1+x_n^2}}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2^n*x_n)=arctanx.
[/mm]
Lösung:
[mm] tan(x/2)=\bruch{1-cosx}{sinx}=\bruch{1-\bruch{1}{\wurzel{1+tan^2x}}}{\bruch{tanx}{\wurzel{1+tan^2x}}}=\bruch{\wurzel{1+tan^2x}-1}{tanx}=\bruch{1+tan^2x-1}{tanx*(\wurzel{1+tan^2x}+
1)}=\bruch{tanx}{1+\wurzel{1+tan^2x}}
[/mm]
für [mm] x<\pi/2 [/mm] gilt: [mm] x_1=\bruch{x}{1+\wurzel{1+x^2}}=tan(\bruch{arctanx}{2})=tan(\bruch{y}{2}), [/mm] wobei y=arctanx. Durch vollständige Induktion über n kann man leicht zeigen, dass
[mm] x_n=tan(\bruch{y}{2^n}) [/mm] ist. In der Tat, angekommen die Formel sei für n [mm] \in \IN [/mm] bewiesen, dann
[mm] x_{n+1}=\bruch{x_n}{1+\wurzel{1+x_n^2}}=\bruch{tan(2^{-n}*y)}{1+\wurzel{1+tan^2(2^{-n}*y)}}=tan(\bruch{y}{2^{n+1}})
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2^n*x_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(2^n*tan(2^{-n}*y)=\limes_{n\rightarrow\infty}((\bruch{tan(2^{-n}*y)}{2^{-n}*y})*y)=y=arctanx, [/mm] da:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{tanh}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1/cos^2h}{1}=1
[/mm]
Also mit dieser Aufgabe habe ich so einige Schwierigkeiten. fängt schon gleich am Anfang an und hört zum schluss.
danke für hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:52 Di 01.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
es ist doch schon ein wenig viel verlangt, wenn Du wirklich jeden Schritt erklärt bekommen willst. Dazu müßte man ja bei jedem Gleichheitszeichen etc. dieses erklären, weil man nicht weiß, ob Dir klar ist, wie das zustandekommt.
Wenn Du den Anfang nicht verstehst, dann guck' zum Bsp. hier mal rein:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie
[mm] ($\rightarrow$ [/mm] Halbwinkelformel)
Ich hab' auch nichts dagegen, wenn Du nun sagst:
"Gut, anscheinend gilt das, aber mir fehlt da die Herleitung..."
Also mittels den Dir bekannten Additionstheoremen kannst Du Dich auch immer mal selbst dran versuchen, oder aber man versucht es geometrisch mit Dreiecken etc., z.B. wäre Satz 3.2 da sicherlich nicht uninteressant in folgendem Skriptum:
http://www.math.uni-frankfurt.de/~habash/elmath2_07/elmath2_07.pdf
Also, wie gesagt: Du musst nun schon zwei Dinge tun, nämlich:
1.) Setze Dich mit der Trigonometrie ein wenig auseinander, mit Additionstheoremen und behalte auch immer mal den trigon. Pythagoras [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ [/mm] im Hinterkopf
2.) Verfolge den Beweis bis zu den Stellen, die Du nicht verstehst. Dann stelle bitte an diesen Stellen die Nachfrage. Es wäre auch nicht schlecht, wenn Du das in einer anderen Schriftfarbe tust, z.B. so könntest Du vorgehen (in blauer Schrift würdest Du dann fragen):
> Aufgabe:
> Sei x [mm]\in \IR.[/mm] Die Folge [mm](x_n)_{n \in \IN}[/mm] werde rekursiv
> wie folgt definiert:
>
> [mm]x_0=x, x_{n+1}=\bruch{x_n}{1+\wurzel{1+x_n^2}}.[/mm] Zeigen
> Sie, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2^n*x_n)=arctanx.[/mm]
>
> Lösung:
>
> [mm] $tan(x/2)=\bruch{1-cosx}{sinx}$
[/mm]
Hier schreibst Du dann meinetwegen:
Mir ist unklar, warum diese Gleichheit gilt.
Dann würde ich z.B. Antworten:
Siehe z.B. obigen Link bei Wikipedia unter dem Stichwort "Halbwinkelformel".
Und jetzt könntest Du sagen:
> $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{tanh}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{1/cos^2h}{1}=1 [/mm] $
Hier verstehe ich nicht...
Also, wenn Du konkret nachfragst, helfen wir Dir gerne, aber bitte nicht so nach dem Motto:
Kann mir mal bitte jeder jeden einzelnen Schritt da erklären?
Zum einen hat man dann nämlich das Gefühl, dass Du Dich gar nicht damit auseinandersetzt, zum anderen ist es teilweise unnötige Zeit- und Energieverschwendung, etwas (ganz ausführlich) zu erklären, wo Du dann hinterher sagst: "Das war mir aber doch eh klar...."
Eigentlich sollte das "Prinzip der konkreten Nachfrage" bei solchen Dingen eh schon selbstverständlich sein.
Also bitte: Frage konkret an genau den Stellen nach, was Du nicht verstehst und schreibe dazu, was Du bisher versucht hast, um es zu verstehen und wo Du nicht weiterkommst. Ansonsten ist das hier eine Arbeit ohne Ende.
P.S.:
Ich hoffe, dass Dir nun wenigstens diese Gleichheit [mm] $\tan\left(\frac{x}{2}\right)=\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)}$ [/mm] schonmal klar ist. Und ehrlich gesagt, würde es mich wundern, wenn Du den Induktionsbeweis nicht verstündest (ich verstünde es nur, wenn Du an einer Stelle vielleicht nicht direkt erkennst, was da gemacht wird, weil Du vll. nicht direkt richtig einsetzt oder Dir unklar ist, dass [mm] $2^{-n}=\frac{1}{2^n}$ [/mm] gilt; wobei ich doch hoffe, dass Dir letztgenannte Gleichheit klar ist). Vielleicht ist es ja doch nur die erste Gleichungskette [mm] $\tan(x/2)=\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)}=...$, [/mm] die Dir Schwierigkeiten bereitet? Da solltest Du jedenfalls mal in die Formeln bei Wiki reingucken. Und wenn Du Formeln davon noch nicht kennst und diese gerne bewiesen hättest, das kannst Du dann ja wieder konkret nachfragen 
Gruß,
Marcel
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HI. ja hast schon recht, sorry. ich hätte konkrete Fragen stellen müssen. werds versuchen beim nächsten mal besser zu machen.
also bei dieser aufgabe habe ich vor allem eins nicht verstanden. wir haben ja die rekursive folge:
[mm] x_0=x, x_{n+1}=\bruch{x_n}{1+\wurzel{1+x_n^2}}, [/mm] so wie kommen überhaupt da drauf, gleich mit
[mm] tan(x/2)=\bruch{1-cosx}{sinx} [/mm] anzufangen? also weiß nicht, ich würde nie auf dieses schritt kommen.
das danach viele formeln kommen, war mir schon klar, aber am meisten gings mir um den ersten schritt, wieso die überhaupt so anfangen.
so dann später kommt ja:
für $ [mm] x<\pi/2 [/mm] $ gilt: $ [mm] x_1=\bruch{x}{1+\wurzel{1+x^2}}=tan(\bruch{arctanx}{2})=tan(\bruch{y}{2}), [/mm] $ wobei y=arctanx
gilt [mm] \bruch{x}{1+\wurzel{1+x^2}}=tan(\bruch{arctanx}{2}) [/mm] auch als feste formel? habe dazu in wikipedia nichts gefunden.
vielleicht bis hier her erstmal.
danke im voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Di 01.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> HI. ja hast schon recht, sorry. ich hätte konkrete Fragen
> stellen müssen. werds versuchen beim nächsten mal besser zu
> machen.
>
> also bei dieser aufgabe habe ich vor allem eins nicht
> verstanden. wir haben ja die rekursive folge:
>
> [mm]x_0=x, x_{n+1}=\bruch{x_n}{1+\wurzel{1+x_n^2}},[/mm] so wie
> kommen überhaupt da drauf, gleich mit
> [mm]tan(x/2)=\bruch{1-cosx}{sinx}[/mm] anzufangen? also weiß nicht,
> ich würde nie auf dieses schritt kommen.
wie man darauf kommt, ist in der Tat etwas schwer zu erklären, denn prinzipiell ist es ja oft so, dass man erstmal viel ausprobiert und rumrechnet und irgendwann verzweifelt, oder aber glücklich ist, dass man doch die, oder besser: eine "richtige Formel" für den Beweis (den man präsentieren will; es gibt ja oft auch mehrere Wege, etwas zu beweisen ) herleiten konnte. Interessant ist allerdings der Zusammenhang:
Vergleiche mal folgende zwei Formeln:
[mm] $x_{n+1}=\frac{x_n}{1+\sqrt{1+x_n^2}}$
[/mm]
und das Resultat der obigen Rechnung:
[mm] $(\*)$ $\tan(x/2)=\frac{\tan(x)}{1+\sqrt{1+\tan^2(x)}}$ [/mm]
Wenn man irgendwie, durch angucken der Folgeglieder oder "gutes hinschauen" erkennt, wie die "Rekursionsformel" mit [mm] $(\*)$ [/mm] zusammenhängt, so kommt man vll. auf die Idee, dass man ja mal erst versuchen könnte, [mm] $(\*)$ [/mm] zu beweisen. Und für [mm] $\tan(x/2)$ [/mm] gibt es da halt eine - mehr oder weniger bekannte - Halbwinkelformel...
> das danach viele formeln kommen, war mir schon klar, aber
> am meisten gings mir um den ersten schritt, wieso die
> überhaupt so anfangen.
>
> so dann später kommt ja:
>
> für [mm]x<\pi/2[/mm] gilt:
> [mm]x_1=\bruch{x}{1+\wurzel{1+x^2}}=tan(\bruch{arctanx}{2})=tan(\bruch{y}{2}),[/mm]
> wobei y=arctanx
>
> gilt [mm]\bruch{x}{1+\wurzel{1+x^2}}=tan(\bruch{arctanx}{2})[/mm]
> auch als feste formel? habe dazu in wikipedia nichts
> gefunden.
Schau mal in [mm] $(\*)$, [/mm] und wenn Du dort das $x$ durch $y$ ersetzt, steht da
[mm] $\tan(y/2)=\frac{\tan(y)}{1+\sqrt{1+\tan^2(y)}}$
[/mm]
Setzt Du dort nun [mm] $y=\arctan(x)$ [/mm] ein, so folgt wegen [mm] $\tan(y)=\tan(arctan(x))=x$ [/mm] dann eben
[mm] $\tan(y)=\tan\left(\frac{arctan(x)}{2}\right)=\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$
[/mm]
Euer Übungsleiter (oder wer auch immer Euch die Lösung präsentiert hatte) hat vielleicht versäumt, Euch darauf hinzuweisen, dass er an dieser Stelle [mm] $(\*)$ [/mm] benutzt, aber ich hoffe, es ist Dir nun klar?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 Mi 02.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
hi,
ja vielen dank. jetzt habe ich es auch verstanden. konkret fragen stellen bringt doch sehr viel mehr 
bei dieser aufgabe wird echt viel von rechts und links, mit formeln usw. kombiniert, die muss ich wohl in ruhe nochmal probieren.
die lösung stammt nicht von unserem übungsleiter, sondern von der assistentin von unserem prof. sie denkt sich bestimmt auch, da sie schon so nett ist und musterlösungen ins netz stellt, da kann sie sich bei der ein oder anderen lösung auch einige erläuterungen weglassen. aber zu meckern gibts echt nichts, sie macht schon gute lösungen.
danker erstmal.
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi Jaruleking,
> hi,
> ja vielen dank. jetzt habe ich es auch verstanden. konkret
> fragen stellen bringt doch sehr viel mehr
ja, zum einen bringt's Dir mehr, zum anderen erspart's uns unnötige Erklärungen. Außerdem passiert's dann vielleicht ja auch, dass Du eine Frage stellen willst und dabei auf einmal selbst währenddessen auf die Antwort Deiner Frage kommst. Ist mir auch schonmal passiert
> bei dieser aufgabe wird echt viel von rechts und links,
> mit formeln usw. kombiniert, die muss ich wohl in ruhe
> nochmal probieren.
>
> die lösung stammt nicht von unserem übungsleiter, sondern
> von der assistentin von unserem prof. sie denkt sich
> bestimmt auch, da sie schon so nett ist und musterlösungen
> ins netz stellt, da kann sie sich bei der ein oder anderen
> lösung auch einige erläuterungen weglassen. aber zu meckern
> gibts echt nichts, sie macht schon gute lösungen.
Nein, da gibt's nichts zu meckern: Im Gegenteil, im Prinzip finde ich es nicht verkehrt, wenn sie so ein oder zwei Sachen immer ein wenig ohne Erklärungen dastehen läßt, denn das zwingt Euch, selbst nochmal drüber nachzudenken, was sie da schreibt und warum das stimmt. Ich selbst bin eh der Ansicht, je weiter man im Studium fortschreitet, desto weniger muss man gewisse Sachen immer ausführlich erklären, weil man eigentlich schon genug Erfahrungen gesammelt haben sollte, was da gemacht wurde. Also wenn irgendwo eine Formel (i) steht und diese in Formel (ii) eingesetzt wird, dann schreibt man nicht immer unbedingt:
"Durch einsetzen von (i) in (ii) folgt... "
sondern schreibt einfach:
"Es folgt..."
Ich selbst bin da zwar immer sehr ausführlich, würde also meist wirklich schreiben, was ich wo einsetze, aber das kann man nicht von jedem erwarten; und manchmal unterlasse ich sowas auch.
Also ich hätte vielleicht in dem obigen Beweis auch "nur" geschrieben:
Mit [mm] $(\*)$ [/mm] folgt [mm] $\tan(x/2)=...$, [/mm] aber ich finde es trotzdem gut, wenn Dir sowas nicht klar ist, dass Du nachfragst. Denn auch, wenn es hier im Prinzip mehr oder weniger nur "Einsetzerei" war: Ich kann's durchaus verstehen, dass man manchmal einfach nicht drauf kommt, was da gemacht wurde. Und wenn das aber geklärt wurde und Du es nachvollzogen hast, dann wirst Du beim nächsten Mal erstmal nochmal gucken, ob man nicht einfach nur ein wenig in den Formeln, die da stehen, einen gewissen Term einsetzen muss
P.S.:
Das war übrigens keine Kritik an der Musterlösung, dass sie es vll. versäumte, darauf hinzuweisen, dass dort [mm] $(\*)$ [/mm] benutzt wurde, sondern ich meinte einfach nur, dass man es "je nach Hörerpublikum" dazuschreiben könnte. Aber wie gesagt: Vll. hat sie es auch einfach absichtlich nicht getan, damit ihr wenigstens etwas gezwungen seid, Euch mit der Lösung auseinanderzusetzen, anstatt diese nur einfach "zu lesen" und so hinzunehmen. Man soll ja nicht alles nur vorgekaut bekommen, sondern auch lernen, mitzudenken und ggf. nachzufragen. Und das hast Du ja getan
Gruß,
Marcel
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