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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mo 23.11.2009 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | [mm] a_{1}=\wurzel{6}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}
[/mm]
Grenzwert? Konvergenz? |
Hallo,
ist das so korrekt aufgeschrieben?
Vermutung: monoton steigend, GW bei 3
1) Nachweis von [mm] a_n<3 [/mm] für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
Vollständige Induktion für A(n): [mm] a_{n}<3
[/mm]
I-Anfang: A(1) ist wahr.
I-Schritt: [mm] a_{n+1}=wurzel{6+a_{n}}
I-Schluss: A(n) wahr für alle [mm] n\ge{1} [/mm] mit [mm] n\in\IN
[/mm]
2) Nachweis der Monotonie:
[mm] a_{n+1}>a_{n} [/mm] => [mm] -2
Damit ist [mm] a_{n} [/mm] für alle n monoton und durch 3 beschränkt. Der Grenzwert muss also 3 sein, die Folge somit konvergent.
Ist das so ok und gibt es auch einen Weg, auf die 3 zu kommen, wenn die (rekursiven) Folgen komplizierter werden? Die habe ich durch genaues Hingucken erkannt...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:04 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a_{1}=wurzel{6}[/mm]
> [mm]a_{n+1}=wurzel{6+a_{n}}[/mm]
Es soll wohl
[mm]a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}[/mm]
lauten
>
> Grenzwert? Konvergenz?
> Hallo,
>
> ist das so korrekt aufgeschrieben?
>
> Vermutung: monoton steigend, GW bei 3
>
> 1) Nachweis von [mm]a_n<3[/mm] für jedes [mm]n\in\IN[/mm]
> Vollständige Induktion für A(n): [mm]a_{n}<3[/mm]
> I-Anfang: A(1) ist wahr.
> I-Schritt: [mm]a_{n+1}=wurzel{6+a_{n}}
Da hast Du Dich vielleicht nur vertippt: kein "<", sondern: [mm] \wurzel{6+3}=3
[/mm]
FRED
> I-Schluss: A(n) wahr für alle [mm]n\ge{1}[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
>
> 2) Nachweis der Monotonie:
> [mm]a_{n+1}>a_{n}[/mm] => [mm]-2
>
> Damit ist [mm]a_{n}[/mm] für alle n monoton und durch 3
> beschränkt. Der Grenzwert muss also 3 sein, die Folge
> somit konvergent.
>
> Ist das so ok und gibt es auch einen Weg, auf die 3 zu
> kommen, wenn die (rekursiven) Folgen komplizierter werden?
> Die habe ich durch genaues Hingucken erkannt...
>
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Di 24.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo an alle,
die gleiche Frage steht hier.
Ich hatte diese hier daher - allerdings ohne Hinweis - auf den Status einer Mitteilung zurückgesetzt.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Di 24.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Huch, weiß nicht, wie das passieren konnte. Glaube, dass ich beim Korrigieren des Wurzel-Fehlers das gleiche wohl nochmal geposted habe...
Sorry!
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